Lección 5 Tal vez yo sea irracional, pero tú eres imaginario Consolido lo que aprendí
Focos de aprendizaje
Relacionar números irracionales con cantidades físicas como la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
Comprender expresiones que tienen números negativos dentro de una raíz cuadrada, como
Sumar, restar y multiplicar números complejos.
¿Los números como
¿Qué tipos de números forman el sistema numérico?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Parte 1: Números irracionales
1.
Comprueba que
2.
Comprueba que
Quizás te haya resultado difícil ubicar en la recta numérica los puntos exactos que representan las soluciones del segundo par de ecuaciones cuadráticas. Los siguientes diagramas te pueden ayudar.
3.
Encuentra el perímetro de este triángulo isósceles. Expresa tu respuesta agrupando los términos semejantes.
Con un número decimal podemos obtener el valor aproximado del perímetro de este triángulo, pero el perímetro exacto es
4.
Explica cómo podrías usar este diagrama para ubicar las dos soluciones de las ecuaciones cuadráticas del problema 2:
5.
¿Los números que ubicamos en la recta numérica de esta manera son racionales o irracionales? Explica tu respuesta.
Las ecuaciones cuadráticas de los problemas 1 y 2 tienen soluciones que se pueden ubicar en una recta numérica. Las soluciones del primer grupo de ecuaciones cuadráticas son números racionales. Las soluciones del segundo grupo de ecuaciones cuadráticas son números irracionales.
Idea principal #1: El conjunto de números que contiene todos los números racionales y todos los números irracionales se llama el conjunto de los números reales. La ubicación de todos los puntos en una recta numérica se puede representar usando números reales.
Haz una pausa y reflexiona:
Parte 2: Números imaginarios y complejos
En la lección anterior, “Por determinarse”, descubriste que al usar la fórmula cuadrática para encontrar las soluciones de la ecuación
6.
Teniendo en cuenta la definición de Euler de
Con la introducción del número
7.
Encuentra los valores de las siguientes expresiones. Muestra en detalle lo que hiciste.
a.
b.
Idea principal #2: Los números como
Idea principal #3: Los números complejos no son números reales, no están en la recta numérica real que incluye todos los números racionales y los números irracionales. Observa también que los números reales son un subconjunto de los números complejos porque un número real se obtiene cuando la parte imaginaria de
Las operaciones con números complejos y con números reales tienen las mismas propiedades, pero hay algunas cosas a las que debemos prestar atención. Por ejemplo, cuando se suman o restan dos números complejos, los números de la parte real son términos semejantes y los números de la parte imaginaria son términos semejantes.
Por ejemplo:
Por ejemplo:
Ahora intenta resolver estos problemas tú solo:
8.
a.
b.
c.
d.
Multiplicar números complejos es lo mismo que multiplicar números irracionales como
Por ejemplo, multipliquemos
Al sumar términos semejantes, obtenemos
Inténtalo. Usa el método de diagrama de área o distribuye los términos horizontalmente.
9.
a.
b.
Estos dos números complejos se llaman conjugados porque son iguales excepto por el signo opuesto del segundo término. Comprueba lo que ocurre aquí:
10.
a.
b.
c.
¿Qué observas en las soluciones? ¿Por qué da este resultado?
Ahora pensemos en las soluciones complejas de las ecuaciones cuadráticas.
11.
Dada la función
12.
Comprueba una de tus soluciones mostrando en detalle lo que hiciste.
13.
¿Las soluciones de la ecuación
14.
Encuentra las soluciones de la ecuación
Ahora que hemos comprobado que los números complejos son números funcionales y útiles, pensemos nuevamente en el teorema fundamental del álgebra.
Retomemos: El teorema fundamental del álgebra
Recuerda lo que vimos en la lección anterior:
Una función polinomial es una función de la forma:
A medida que la teoría para encontrar raíces de funciones polinomiales evolucionaba, un matemático, Albert Girard (1595-1632), hizo la siguiente afirmación que se conoce como el teorema fundamental del álgebra: Una función polinomial de grado
15.
Teniendo en cuenta tu trabajo en esta actividad, ¿crees que este teorema se cumple en las funciones cuadráticas? Es decir, ¿todas las funciones de la forma
¿Listo para más?
Las soluciones de la ecuación
Comprueba que
Aprendizajes
Intersecciones con el eje
Raíces:
Si la gráfica de una función cuadrática interseca el eje
Si la gráfica de una función cuadrática no interseca el eje
Vocabulario
- conjugados complejos
- número complejo
- número imaginario
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección relacionamos los números irracionales con las medidas de figuras geométricas y mostramos dónde está ubicado un número irracional en la recta numérica. Además, encontramos soluciones irracionales de ecuaciones cuadráticas y las usamos para escribir la ecuación en forma factorizada. También conocimos un conjunto nuevo de números que está definido en términos de
1.
Selecciona el conjunto al que pertenece cada número. Si un número pertenece a más de un conjunto, marca todos los que correspondan.
a.
A.
números enteros no negativos
B.
números enteros
C.
números racionales
D.
números irracionales
E.
números reales
b.
A.
números enteros no negativos
B.
números enteros
C.
números racionales
D.
números irracionales
E.
números reales
c.
A.
números enteros no negativos
B.
números enteros
C.
números racionales
D.
números irracionales
E.
números reales
d.
A.
números enteros no negativos
B.
números enteros
C.
números racionales
D.
números irracionales
E.
números reales
2.
Soluciona la ecuación: