Lección 7 Dilemas cuadráticos Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Solucionar desigualdades cuadráticas con gráficas y álgebra.

Interpretar soluciones de desigualdades cuadráticas que surgen del contexto.

¿Cómo podemos usar lo que ya sabemos sobre solucionar ecuaciones cuadráticas y graficar funciones para solucionar desigualdades cuadráticas?

¿Qué significan nuestras soluciones en el contexto de un problema?

¿Cómo identificamos y escribimos todas las soluciones?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Carlos y Clarita tienen una idea genial para ganar dinero este verano. En la comunidad donde viven hay muchas preparatorias, un par de universidades y también algunos equipos deportivos profesionales, por lo que todo el mundo parece tener un equipo favorito al que apoyar. En el vecindario de Carlos y Clarita, las competencias deportivas tienen un significado especial debido a que muchos de los vecinos apoyan a diferentes equipos. Se han dado cuenta de que sus vecinos generalmente exhiben afiches hechos en casa y otros artículos para mostrar que apoyan a su equipo favorito. Los mellizos creen que pueden lograr que las personas del vecindario inviertan en su nuevo proyecto: pintar logos de equipos en aceras o en calzadas.

Por un precio bajo, Carlos y Clarita pintarán el logo de un equipo en la acera junto al número de la casa de un vecino. Por un precio mayor, los mellizos pintarán una mascota en la calzada. Carlos y Clarita han diseñado plantillas para pintar más fácilmente y han cotizado el costo de los materiales. También les hicieron una encuesta a los vecinos para tener una idea de cuántas personas en el vecindario podrían estar interesadas en su servicio.

Las encuestas muestran que los mellizos pueden vender $100$ pinturas de mascotas en las calzadas a $$ 20$ cada una y que venderían $10$ mascotas menos por cada $$ 5$ adicionales que cobren.
Los mellizos estiman que el costo de los materiales será $$ 250$ . Quieren obtener una ganancia de $$ 2, 000$ por la venta de pinturas de mascotas en las calzadas. Por lo tanto, necesitarán que sus ingresos sean de $$ 2, 250$ .

Esta información llevó a Carlos y Clarita a escribir y solucionar la ecuación cuadrática:

$(100 - 10 x) (20 + 5 x) = 2, 250$

1.

Encuentra los valores de $x$ que son soluciones de la ecuación.

2.

¿Qué significan en este contexto-historia los valores de $x$ que encontraste en el problema anterior?

3.

Supongamos que la pregunta de Carlos y Clarita hubiera sido: “¿Cuánto debemos cobrar si queremos que nuestros ingresos sean de por lo menos $$ 2, 250$ ?”. ¿Cómo cambiaría tu respuesta?

4.

Y si la pregunta hubiera sido: “¿Cuánto deberíamos cobrar si queremos maximizar nuestros ingresos?”. ¿Cómo cambiaría tu respuesta?

Como probablemente observaste, la situación que se representó en el problema 3 no tiene solo una solución porque hay muchos precios diferentes que los mellizos pueden cobrar para que sus ingresos sean de más de $$ 2, 250$ . A veces, nuestras preguntas nos llevan a desigualdades cuadráticas en vez de a ecuaciones cuadráticas.

Esta es otra desigualdad cuadrática que se genera de los planes de negocio de Carlos y Clarita:

5.

Carlos y Clarita quieren diseñar un logo que necesite menos de $48 {in}^{2}$ de pintura y que quepa dentro de un rectángulo que mida $8$ pulgadas más de largo que de ancho. ¿Cuáles son las posibles dimensiones del logo rectangular?

De nuevo, el problema 5 tiene varias respuestas. Estas respuestas están restringidas por el contexto. Analicemos la desigualdad que escribiste para el problema 5, pero sin restringirla al contexto.

6.

¿Cuáles son las soluciones de la desigualdad $x (x + 8) < 48$ ?

7.

¿De qué manera puedes justificar tu respuesta al problema 6 usando una gráfica o una tabla?

Estas desigualdades cuadráticas no tienen contexto. Muestra cómo puedes usar gráficas y álgebra para solucionar cada una.

8.

$x^{2} + 3 x - 10 \geq 0$

9.

$2 x^{2} - 5 x < 12$

10.

$x^{2} - 4 \leq 4 x + 1$

Carlos y Clarita solucionaron el problema 10 usando gráficas y álgebra, pero de maneras diferentes. Ilustra el método de cada uno usando una gráfica y álgebra.

11.

Carlos: “Reescribí la desigualdad de modo que hubiera un $0$ a un lado y una forma factorizada al otro. Encontré las raíces de cada uno de mis factores. Para decidir qué valores de $x$ tenían sentido en la desigualdad, dibujé una gráfica de la función cuadrática que está relacionada con la expresión cuadrática de mi desigualdad. Luego, sombreé los valores de $x$ que son soluciones a partir de la información de mi gráfica”.

12.

Clarita: “Grafiqué la función lineal y la función cuadrática relacionadas con las expresiones lineal y cuadrática de la desigualdad. A partir de la gráfica, podría haber estimado los puntos de las intersecciones. Pero, para ser más precisos, solucioné la ecuación cuadrática $x^{2} - 4 = 4 x + 1$ , escribiendo una ecuación equivalente que tuviera $0$ a un lado. Una vez supe los valores de $x$ en los puntos de intersección de la gráfica, pude sombrear los valores de $x$ que hacen que la desigualdad sea verdadera”.

¿Listo para más?

Idea una estrategia basándote en tu trabajo con desigualdades cuadráticas para solucionar esta desigualdad cúbica que tiene tres factores:

$(x - 4) (x + 4) (x + 8) \leq 0$

Aprendizajes

Para solucionar desigualdades cuadráticas:

Vocabulario

desigualdad cuadrática
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección desarrollamos una estrategia para solucionar desigualdades cuadráticas. El procedimiento implica solucionar las ecuaciones cuadráticas relacionadas y después usar una gráfica o probar valores para encontrar los intervalos que son soluciones de la desigualdad. Si la desigualdad representa un contexto real, las soluciones se deben interpretar de manera que se ajusten a la situación.

Repaso

1.

Factoriza completamente. $- 6 x^{2} - 15 x + 9$

2.

Escribe en forma canónica. $f (x) = (x + 3) (x - 7)$