Lección 6 Es cerrado Practico lo que aprendí
Focos de aprendizaje
Justificar o cuestionar afirmaciones sobre distintos tipos de números y el resultado de sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos.
Justificar o cuestionar afirmaciones sobre el resultado de sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios.
¿En qué se parecen y en qué se diferencian la aritmética de los números enteros, los números racionales, los números reales, los números complejos y los polinomios?
¿Qué significa la definición formal de un polinomio?
¿Qué significa que un conjunto de números sea cerrado con respecto a una operación?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Ya comparamos las operaciones entre polinomios con las operaciones entre números enteros, y comenzamos a pensar en nuevos conjuntos de números, como los irracionales y los complejos. Ahora es momento de generalizar los resultados.
Puede que ya hayas observado que cuando se suman dos números pares, el resultado siempre es un número par. Matemáticamente, decimos que el conjunto de números pares es cerrado con respecto a la suma. A los matemáticos les interesan resultados como este porque nos ayudan a entender cómo se comportan los números o las funciones de determinado tipo con respecto a las distintas operaciones.
1.
¡Inténtalo tú mismo! ¿El conjunto de números impares es cerrado con respecto a la suma? En otras palabras, ¿si sumas dos números impares, obtendrás un número impar? Explica.
Si encuentras dos números impares que tienen un producto par, entonces puedes decir que los números impares no son cerrados con respecto a la multiplicación. Aun cuando haya varios ejemplos que justifiquen la afirmación, si puedes encontrar un contraejemplo que la contradiga, entonces la afirmación es falsa.
Considera las siguientes afirmaciones y determina si son verdaderas o falsas. Si una afirmación es verdadera, da una razón con al menos dos ejemplos que ilustren la afirmación. Si es falsa, da una razón con un contraejemplo que demuestre que la afirmación es falsa.
Esta gráfica te ayudará a pensar en las relaciones entre los distintos conjuntos de números, incluidos los números complejos que hemos encontrado como soluciones de ecuaciones cuadráticas.
Haz esto con cada una de las siguientes afirmaciones:
Determina si la afirmación es verdadera o falsa.
Si determinas que la afirmación es verdadera, construye un argumento general que explique por qué siempre es verdadera o plantea al menos tres ejemplos que justifiquen la afirmación.
Si determinas que la afirmación es falsa, encuentra un contraejemplo que demuestre que la afirmación es falsa.
2.
El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la suma.
3.
El conjunto de los números irracionales es cerrado con respecto a la suma.
4.
La suma de un número racional y un número irracional es un número irracional.
5.
El conjunto de los números enteros no negativos es cerrado con respecto a la resta.
6.
El conjunto de los números racionales es cerrado con respecto a la resta.
7.
El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la multiplicación.
8.
El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la división.
9.
El conjunto de los números racionales es cerrado con respecto a la multiplicación.
10.
El conjunto de los números irracionales es cerrado con respecto a la multiplicación.
11.
El conjunto de los números complejos es cerrado con respecto a la multiplicación.
Parte 2: La aritmética de los polinomios
Para evaluar afirmaciones parecidas sobre polinomios, debemos tener muy clara la definición de un polinomio.
La forma de una función polinomial es:
donde
12.
Los siguientes ejemplos te ayudarán a ver las principales consecuencias de la definición de una función polinomial. En cada caso, indica en qué se diferencia el ejemplo de polinomio del ejemplo que no es un polinomio.
Estos son polinomios: | Estos no son polinomios: |
|---|---|
¿En qué se diferencian | |
¿En qué se diferencian | |
¿En qué se diferencian | |
¿En qué se diferencian | |
¿En qué se diferencian | |
13.
Teniendo en cuenta la definición y los ejemplos dados, ¿cómo puedes saber si una función es una función polinomial?
Ahora consideraremos afirmaciones sobre polinomios. Haz esto con cada una de las siguientes afirmaciones:
Determina si la afirmación es verdadera o falsa.
Si determinas que la afirmación es verdadera, plantea al menos dos ejemplos que justifiquen la afirmación.
Si determinas que la afirmación es falsa, encuentra un contraejemplo que demuestre que la afirmación es falsa.
14.
La suma de una función polinomial cuadrática y una función polinomial lineal es una función polinomial cúbica.
15.
La suma de una función polinomial lineal y una función exponencial es una función polinomial.
16.
Restarle una función polinomial cúbica a una función polinomial cúbica da una función polinomial cúbica.
17.
Una función polinomial cúbica dividida entre una función polinomial lineal es una función polinomial cuadrática.
18.
El conjunto de las funciones polinomiales es cerrado con respecto a la suma.
19.
El conjunto de las funciones polinomiales es cerrado con respecto a la resta.
20.
El conjunto de las funciones polinomiales es cerrado con respecto a la multiplicación.
21.
El conjunto de las funciones polinomiales es cerrado con respecto a la división.
¿Listo para más?
Escribe dos afirmaciones sobre las funciones polinomiales. Usa ejemplos para demostrar que son verdaderas.
Afirmación #1:
Afirmación #2:
Aprendizajes
Propiedades de clausura:
Notación, convenciones y vocabulario
La definición de un polinomio implica que:
Vocabulario
- clausura
- función polinomial
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección analizamos afirmaciones para determinar si distintos conjuntos de números y clases de funciones son cerrados con respecto a las operaciones de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Un ejemplo de esas afirmaciones es: “El conjunto de los números enteros es cerrado con respecto a la división”. Un contraejemplo que muestra que esta afirmación es falsa es
1.
a.
Encuentra los ceros de
b.
En la gráfica de
2.
Encuentra el producto.