Lección 2 Cuadrados y cubos Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

1.

Identifica las características clave de $g (x) = x^{2}$ . Incluye el dominio, el rango, las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ , y los intervalos en los que crece y en los que decrece.

2.

Usa transformaciones de $g (x) = x^{2}$ para graficar cada una de las siguientes funciones.

a.

$y = x^{2} + 3$

b.

$y = {(x + 3)}^{2}$

c.

$y = - {(x - 1)}^{2} + 2$

Focos de aprendizaje

Comparar funciones cuadráticas y funciones cúbicas.

Graficar funciones cúbicas.

¿Qué semejanzas y diferencias hay entre las funciones cuadráticas y las funciones cúbicas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Anteriormente, aprendimos que la función que se genera al sumar los términos de una sucesión cuadrática se llama una función cuadrática. Las funciones lineales, las funciones cuadráticas y las funciones cúbicas son polinomiales, así como las funciones con potencias mayores. En esta lección, exploraremos más sobre las funciones cúbicas para aprender algunas de las semejanzas y diferencias que hay entre las funciones cúbicas y las funciones cuadráticas.

Para empezar, miremos la función cúbica básica, $f (x) = x^{3}$ . Técnicamente es un polinomio de grado $3$ porque el mayor exponente es $3$ , pero se llama función cúbica porque suele usarse para modelar volumen. Algo similar pasa con las funciones cuadráticas. Son polinomios de grado $2$ , pero se llaman cuadráticas por la palabra del latín quadrātum que significa cuadrado. En la lección “Motivación de marzo” vimos que las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante, las funciones cuadráticas tienen una tasa de cambio lineal y las funciones cúbicas tienen una tasa de cambio cuadrática.

1.

Usa una tabla para comprobar que $f (x) = x^{3}$ tiene una tasa de cambio cuadrática.

2.

Grafica $f (x) = x^{3}$ .

3.

Describe las características de $f (x) = x^{3}$ . Incluye las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ , los intervalos en los que crece y en los que decrece, el dominio, el rango, etcétera.

4.

Sin ayuda de tecnología, usa tus conocimientos sobre transformaciones para graficar cada una de las siguientes funciones.

a.

$f (x) = x^{3} - 3$

b.

$f (x) = {(x + 3)}^{3}$

c.

$f (x) = 2 x^{3}$

d.

$f (x) = - {(x - 1)}^{3} + 2$

5.

Usa tecnología para revisar las gráficas que acabaste de hacer. ¿Qué transformaciones hiciste bien? ¿Qué aspectos debes mejorar para que tus gráficas de funciones cúbicas sean perfectas?

6.

Las funciones cuadráticas y las funciones cúbicas hacen parte de la familia de funciones polinomiales, por lo que esperamos que compartan algunas características. Haz una lista de todas las semejanzas que encuentres entre $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2}$ .

7.

A partir de la gráfica de $f (x) = x^{3}$ , puedes ver que también hay algunas diferencias entre las funciones cúbicas y las funciones cuadráticas. Cada una de las siguientes afirmaciones describe una de esas diferencias. Completa la oración con la explicación de por qué cada afirmación es verdadera.

a.

El rango de $f (x) = x^{3}$ es $(- \infty, \infty)$ , pero el rango de $g (x) = x^{2}$ es $(0, \infty)$ porque:

b.

Para $x > 1$ , $f (x) > g (x)$ porque:

c.

Para $0 < x < 1, g (x) > f (x)$ porque:

¿Listo para más?

¿Qué semejanzas crees que existen entre $f (x) = x^{3}$ y $k (x) = x^{5}$ ?

Aprendizajes

*Semejanzas entre $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2}$ .	Diferencias entre $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2}$ .

*Las semejanzas entre $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2}$ son verdaderas para todas las funciones polinomiales básicas, $h (x) = x^{4}$ , $k (x) = x^{5}$ , etcétera.

Vocabulario

función cúbica
función polinomial
grado de un polinomio
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección analizamos las características de la función cúbica básica, $f (x) = x^{3}$ . Identificamos puntos guía y aprendimos a usar transformaciones para graficar funciones en la forma $y = a {(x - h)}^{3} + k$ . También comparamos $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2}$ para identificar semejanzas y diferencias en los dominios, los rangos, las intersecciones con los ejes $x$ y $y$ , y los intervalos en los que crecen y en los que decrecen.

Repaso

1.

a.

Usa la gráfica para escribir la ecuación de la función cuadrática en forma factorizada.

b.

¿Cómo puedes usar la ecuación para encontrar la intersección con el eje $y$ ?

2.

Escribe un expresión equivalente a $x^{\frac{5}{18}} \cdot x^{\frac{4}{9}} \cdot x^{\frac{1}{3}}$ .