Lección 5 ¿Es el final? Consolido lo que aprendí
Focos de aprendizaje
Encontrar patrones en el comportamiento final de las funciones polinomiales.
Describir el comportamiento final de una función usando la notación adecuada.
¿Qué se puede concluir acerca del comportamiento final de las funciones polinomiales?
¿En qué se parece y en qué se diferencia el comportamiento final de las funciones polinomiales al de las otras funciones que conocemos?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Anteriormente, comparamos y analizamos las tasas de crecimiento de funciones polinomiales (en su mayoría lineales y cuadráticas) y funciones exponenciales. En esta actividad vamos a analizar las tasas de cambio y el comportamiento final mediante la comparación de distintas expresiones. De esta manera, encontraremos patrones que nos permitan predecir el comportamiento final de las funciones.
Parte I: Veamos patrones en el comportamiento final
1.
En la siguiente gráfica, escribe las ecuaciones de las funciones ordenadas de mayor a menor de acuerdo a su valor cuando
. Pon arriba la función que tenga el mayor valor y abajo la función que tenga el menor valor. Pon al mismo nivel a las funciones que tengan el mismo valor. Para empezar, en la gráfica se incluye el ejemplo de . ¿Qué determina el valor de una función polinomial en
? ¿Esto también es verdadero para otros tipos de funciones? En la gráfica, escribe las mismas ecuaciones de las funciones ordenadas de mayor a menor de acuerdo a su valor cuando
representa un número muy grande (como este número es muy grande, decimos que se aproxima al infinito positivo). Si el valor de la función es positivo, pon la función en el cuadrante I. Si el valor de la función es negativo, pon la función en el cuadrante IV. En la gráfica se da un ejemplo. ¿Qué determina el comportamiento final de una función polinomial para valores muy grandes de
? En la gráfica, escribe las mismas ecuaciones de las funciones ordenadas de mayor a menor de acuerdo a su valor cuando
representa un número que se aproxima al infinito negativo. Si el valor de la función es positivo, ponla en el cuadrante II. Si el valor de la función es negativo, ponla en el cuadrante III. En la gráfica se muestra un ejemplo. ¿Qué patrones ves en las funciones polinomiales cuando los valores de
se aproximan al infinito negativo? ¿Qué patrones ves en las funciones exponenciales? Usa tecnología para poner a prueba estos patrones con unos cuantos ejemplos más que elijas.
2.
¿Cómo cambia el comportamiento final de las funciones polinomiales si el signo del término con el exponente mayor se cambia de positivo a negativo?
Part II: Usemos los patrones de comportamiento final
En cada caso:
Determina el tipo de función. Si es una función polinomial, indica el grado del polinomio y si el polinomio es de grado par o impar.
Describe el comportamiento final a partir de lo que sabes sobre la función. Usa el siguiente esquema:
Cuando
3.
a.
Tipo de función:
Cuando
b.
Tipo de función:
Cuando
c.
Tipo de función:
Cuando
d.
Tipo de función:
Cuando
e.
Tipo de función:
Cuando
f.
Tipo de función:
Cuando
4.
Usa las gráficas y completa las afirmaciones para describir el comportamiento final de cada función.
a.
Cuando
b.
Cuando
5.
¿Cómo se relaciona el comportamiento final de las funciones cuadráticas con el número y tipo de sus raíces? ¿Cómo se relaciona el comportamiento final de las funciones cúbicas con el número y tipo de sus raíces?
Parte III: Funciones pares e impares
Algunas funciones que no son polinomiales se pueden categorizar como funciones pares o impares. Cuando los matemáticos dicen que una función es par, se refieren a algo muy específico.
6.
Veamos si puedes descubrir cuál es la definición de una función par con estos ejemplos. En cada caso, compara la función par con la función que no lo es y escribe las diferencias que observes.
a.
Función par: | Función no par: |
Diferencias:
b.
Función par: | Función no par: |
Diferencias:
c.
Función par: | Función no par: |
Diferencias:
d.
Función par: | Función no par: |
Diferencias:
7.
¿Qué puedes decir acerca de las características de una función par?
8.
La definición algebraica de una función par es:
¿Qué implicaciones tiene en su gráfica la definición de una función par?
9.
¿Todas las funciones polinomiales de grado par son funciones pares? Usa ejemplos para explicar tu respuesta.
10.
Intentemos la misma estrategia para descubrir cuál es la definición de las funciones impares.
a.
Función impar: | Función no impar: |
Diferencias:
b.
Función impar: | Función no impar: |
Diferencias:
c.
Función impar: | Función no impar: |
Diferencias:
d.
Función impar: | Función no impar: |
Diferencias:
11.
¿Qué puedes decir acerca de las características de una función impar?
12.
La definición algebraica de una función impar es:
Explica cómo cumple con esta definición cada uno de los anteriores ejemplos de funciones impares.
13.
¿Cómo puedes saber si una función polinomial de grado impar es una función impar?
14.
¿Todas las funciones son pares o impares?
¿Listo para más?
1.
Encuentra las raíces de
Raíces:
Comportamiento final:
Cuando
2.
Predice cómo se verá la gráfica.
Aprendizajes
En
Cuando
Cuando
Notación, convenciones y vocabulario
Entradas:
Salidas:
Relaciones entrada-salida:
Función par:
Función impar:
Vocabulario
- coeficiente principal
- comportamiento final
- función impar
- función par
- función: par, impar
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección analizamos el comportamiento final de las funciones polinomiales y exponenciales. Encontramos patrones que nos permiten predecir el comportamiento final de las funciones polinomiales. Aprendimos a usar la notación adecuada para describir el comportamiento final de las funciones. También aprendimos la definición de funciones pares e impares, y vimos cómo identificarlas por sus simetrías.
1.
Multiplica:
2.
Multiplica:
3.
Completa el conjugado de la expresión dada y multiplica.