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Lección 3 Construyamos raíces sólidas Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

¿Cuál es diferente?

Determina en qué se diferencia de las otras cada ecuación. Prepárate para justificar tu respuesta con un razonamiento matemático sólido.

A.

B.

C.

D.

E.

Focos de aprendizaje

Encontrar raíces y factores de funciones cuadráticas y cúbicas.

Escribir ecuaciones cuadráticas y cúbicas en forma factorizada.

Identificar las raíces de las funciones cuadráticas y cúbicas.

¿Todas las funciones polinomiales de grado tienen raíces?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Cuando trabajamos con funciones cuadráticas, aprendimos el teorema fundamental del álgebra:

Una función polinomial de grado tiene raíces.

En esta lección, vamos a explorar más esta idea con otras funciones polinomiales.

Primero, repasemos lo que aprendimos sobre funciones cuadráticas. A continuación tienes las ecuaciones y gráficas de cuatro funciones cuadráticas diferentes. Encuentra las raíces de cada una e indica si las raíces son reales o complejas/imaginarias.

1.

a.

A parabola opening up with the points (-3,0) and (2,0) graphed on a coordinate plane.x–10–10–10–5–5–5555101010y–5–5–5555101010000

Raíces:

Tipo de raíces:

b.

A parabola opening up with the points (-2,0), (1,-8), and (4,0) graphed on a coordinate plane.x–5–5–5555101010y–10–10–10–5–5–5555000

Raíces:

Tipo de raíces:

c.

A parabola opening up with the points (0,4, (2,0), and (4,4) graphed on a coordinate plane.x–5–5–5555101010y555101010000

Raíces:

Tipo de raíces:

d.

A parabola opening up with the points (0,5), (2,1), and (4,5) graphed on a coordinate plane.x555101010y555101010151515000

Raíces:

Tipo de raíces:

2.

¿Todas las funciones cuadráticas tienen raíces, como lo predice el teorema fundamental del álgebra? Explica.

3.

Es importante que siempre conserves en tu bolsa de trucos matemáticos lo que aprendiste antes para que puedas usarlo cuando lo necesites. ¿Qué estrategias usaste para encontrar las raíces de las funciones cuadráticas?

Haz una pausa y reflexiona

4.

Escribe las ecuaciones de las funciones cuadráticas en forma factorizada. Para esto, usa lo que hiciste en el problema 1. Cuando termines, si es posible, haz una gráfica para comprobar tus respuestas. Corrige lo que sea necesario.

a.

Forma factorizada:

b.

Forma factorizada:

c.

Forma factorizada:

d.

Forma factorizada:

5.

A partir de lo que hiciste en el problema 1, ¿dirías que las raíces y las intersecciones con el eje son las mismas? Explica.

6.

A partir de lo que hiciste en el problema 4, ¿qué relación hay entre las raíces y los factores?

Ahora estudiemos más a fondo las funciones cúbicas. Ya trabajamos con transformaciones de , pero lo que hemos visto hasta el momento es solo la punta del iceberg. Por ejemplo, piensa en:

a positive cubic function graphed on a coordinate plane x–5–5–5555101010y–30–30–30–25–25–25–20–20–20–15–15–15–10–10–10–5–5–5555000

7.

Usa la gráfica para encontrar las raíces de la función cúbica. Comprueba con la ecuación que tu respuesta es correcta. Muestra cómo comprobaste que cada raíz es correcta.

8.

Escribe en forma factorizada. Comprueba que la forma factorizada es equivalente a la forma estándar.

9.

¿Los resultados que obtuviste en el problema 7 son consistentes con el teorema fundamental del álgebra? Explica.

Este es otro ejemplo de una función cúbica.

a positive cubic function graphed on a coordinate plane x–10–10–10–5–5–5555y–20–20–20–10–10–10000

10.

Usa la gráfica para encontrar las raíces de la función cúbica.

11.

Escribe en forma factorizada. Comprueba que la forma factorizada es equivalente a la forma estándar. Corrige lo que sea necesario.

12.

¿Los resultados que obtuviste en el problema 10 son consistentes con el teorema fundamental del álgebra? Explica.

13.

Vimos la función polinomial cúbica más básica, , y sabemos que su gráfica se ve así:

a positive cubic function graphed on a coordinate plane x–5–5–5555y–15–15–15–10–10–10–5–5–5555101010151515000

Explica por qué es consistente con el teorema fundamental del álgebra.

14.

Esta es otra función polinomial cúbica. Observa que su ecuación está escrita en forma factorizada. Usa la ecuación y la gráfica para encontrar las raíces de .

a positive cubic function graphed on a coordinate plane x–5–5–5555101010y–15–15–15–10–10–10–5–5–5555101010151515202020000

15.

Usa la ecuación para comprobar si cada raíz que encontraste es correcta. Muestra lo que hiciste.

16.

¿Los resultados que obtuviste en el problema 14 son consistentes con el teorema fundamental del álgebra? Explica.

17.

Explica cómo puedes encontrar la forma factorizada de un polinomio si te dan las raíces.

18.

Explica cómo encontrar las raíces de un polinomio si su ecuación está escrita en forma factorizada.

¿Listo para más?

Un reto: Encuentra una función cúbica escrita en forma estándar con coeficientes reales que tenga tres raíces complejas/imaginarias.

Aprendizajes

Para comprobar si una raíz es correcta:

Las raíces y las intersecciones con el eje :

Para encontrar la forma factorizada de un polinomio cuando se conocen las raíces , y :

Varias raíces o raíces de multiplicidad :

Para encontrar las raíces de un polinomio escrito en forma factorizada:

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección encontramos raíces de funciones cúbicas con los mismos métodos que usamos para las funciones cuadráticas. Descubrimos que las funciones cúbicas pueden tener varias raíces, al igual que las funciones cuadráticas. Aprendimos a comprobar si las raíces eran correctas, y escribimos ecuaciones equivalentes en forma factorizada y estándar. Durante la lección aplicamos el teorema fundamental del álgebra en las funciones cúbicas para determinar el número y el tipo de las raíces posibles.

Repaso

1.

Divide:

2.

Usa la fórmula cuadrática para encontrar los ceros de