Lección 3 El simulador de salto bungee Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Escribe una ecuación de cada gráfica:

1.

2.

Focos de aprendizaje

Representar una gráfica con una ecuación que incluya la suma o multiplicación de dos funciones.

¿Qué significa “modelar con matemáticas”? ¿A qué debo prestar atención para hacer mis modelos más precisos?

Dada la gráfica de una combinación de dos funciones, ¿cómo presto atención a los detalles de las características de la gráfica para escribir la función combinada?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Como recompensa por ayudar a los ingenieros del parque de diversiones a elegir un diseño para su próxima atracción, puedes visitar gratis el parque con tus amigos. Uno de los ingenieros será su guía. Decides llevar la calculadora por si el ingeniero vuelve a explicar cosas en términos de ecuaciones matemáticas.

Efectivamente, justo cuando vas a hacer la fila del simulador de salto bungee, el ingeniero muestra una gráfica y empieza a explicar las matemáticas relacionadas con la atracción. Para evitar lesiones, un saltador de bungee debe seguir la trayectoria de la gráfica. Los saltadores se lanzan desde la parte más alta de la torre de la izquierda y se bajan en el centro de la torre de la derecha, cuando ya no hay movimiento de subida y bajada. La cuerda del bungee está atada a un cable que mantiene alejado de la torre de la izquierda al saltador y le permite salir fácilmente por la derecha.

1.

Para que el ingeniero los deje hacer la fila para la atracción, deben recrear esta gráfica en la calculadora como se ve en el diagrama.

a.

Con un compañero, intenten recrear esta gráfica en la pantalla de su calculadora. Asegúrense de prestar atención a la altura a la que está el saltador en cada oscilación, como se muestra en la tabla.

posición horizontal	posición vertical	distancia a la recta media
$0$	$120$	$40$
$1$	$48$	$32$
$2$	$105.6$	$25.6$
$3$	$59.52$	$20.48$
$4$	$96.38$	$16.38$
$5$	$66.89$	$13.11$
$6$	$90.49$	$10.49$
$7$	$71.61$	$8.39$
$8$	$86.71$	$6.71$
$9$	$74.63$	$5.37$
$10$	$84.30$	$4.30$
$11$	$76.56$	$3.44$
$12$	$82.75$	$2.75$
$13$	$77.80$	$2.20$
$14$	$81.76$	$1.76$
$15$	$78.59$	$1.41$
$16$	$81.13$	$1.13$
$⋮$	$⋮$

b.

Escribe la ecuación de esta gráfica:

Después de una emocionante subida en el simulador de salto bungee, el ingeniero te propone un nuevo reto: “Como sabes, aquí hace mucho frío en la noche pero mucho calor en el día. Al diseñar las atracciones, debemos tener en cuenta cómo se calientan las estructuras metálicas y los cables durante del día. Nuestros cálculos se basan en la ley del calentamiento de Newton”.

“Newton descubrió que cuando el aire está más caliente que un objeto, la temperatura del objeto aumenta, pero la tasa de cambio de su temperatura disminuye. Poco a poco, la temperatura del objeto se acerca a la de su entorno”.

Por supuesto, el ingeniero tiene una gráfica de esta situación. Él dice: “Esta gráfica indica cómo decae la diferencia entre la temperatura de los cables y la temperatura del aire”.

Tus amigos creen que esta gráfica se parece a los puntos de la parte inferior de las oscilaciones de la gráfica del salto bungee.

2.

Recuerda el comentario del ingeniero: “Esta gráfica indica cómo decae la diferencia entre la temperatura de los cables y la temperatura del aire”. Intenta recrear la gráfica en la pantalla de tu calculadora. (Pista: ¿En qué tipo de gráficas piensas generalmente cuando intentas modelar una situación de crecimiento o decaimiento? ¿Qué transformaciones podrías usar para que una gráfica de ese tipo se pareciera a la que se muestra?).

Escribe la ecuación de esta gráfica:

¿Listo para más?

Explica por qué la ley del calentamiento de Newton (o la ley del enfriamiento de Newton) involucra una transformación de una gráfica exponencial. ¿Por qué es adecuada la idea de usar una función exponencial en este contexto del mundo real? ¿Qué cantidad cambia exponencialmente? ¿Cómo se ve el cambio exponencial en la gráfica?

Aprendizajes

Si entiendo el comportamiento de diferentes tipos de funciones básicas, puedo combinarlas para modelar comportamientos complejos del mundo real.

Por ejemplo,

Para hacer que la salida de una función aumente o disminuya exponencialmente, puedo.
Para crear oscilaciones periódicas en una gráfica, puedo .
Puedo identificar restricciones en un contexto que indican que .
Para reflejar una función horizontalmente, puedo .
Hay pocas funciones básicas. Por eso, para descubrir cuáles funciones producen la gráfica de una función combinada, puedo.

Resumen de la lección

En esta lección escribimos ecuaciones para modelar una situación en contexto con información dada en gráficas y tablas de datos. Para esto, combinamos tipos de funciones y reflejamos funciones.

Repaso

1.

La gráfica muestra el consumo de combustible (en millas por galón, mpg) de mi automóvil viejo al viajar a distintas velocidades ( $v mph$ ). Se quiere comparar con el consumo de combustible de mi automóvil nuevo.

Mi automóvil viejo tiene un promedio de $15 mpg$ en la ciudad y $25 mpg$ en la autopista. Se espera que el automóvil nuevo tenga un promedio de $32 mpg$ en la ciudad y $42 mpg$ en la autopista.

a.

Si $f (v)$ es la función que describe el consumo de combustible de mi automóvil viejo, ¿cuál sería la función del automóvil nuevo en términos de $f (v)$ ?

b.

Dibuja la gráfica del consumo de combustible del automóvil nuevo.

c.

Según la gráfica, ¿cuál es la velocidad con la mayor eficiencia en el consumo de combustible?

2.

Cada ecuación tiene una exponencial. Escribe una ecuación equivalente que tenga un logaritmo.

a.

$a^{3} = 5.7$

b.

$10^{6} = 1,000,000$

c.

$e^{5} = M$