Lección 5 Declaración de independencia Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Determinar si dos eventos son independientes.

Encontrar las probabilidades de eventos independientes.

¿Bajo qué condiciones un evento es independiente de otro evento?

¿Cómo nos ayuda a encontrar probabilidades saber que los eventos son independientes?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Tyrell le ayudó a Freddy a determinar la cantidad y el tipo de comida que debía preparar cada día en su restaurante, Las Frituras de Freddy. Como resultado, el desperdicio de comida disminuyó notablemente. Con el tiempo, Freddy observó que había otro factor que debía considerar: el día de la semana. Se dio cuenta de que estaba preparando comida de sobra entre semana y muy poca comida los fines de semana. Tyrell y Freddy recolectaron datos del número promedio de pedidos diarios de pollo y pescado que Freddy recibía entre semana y lo compararon con el promedio de pedidos del fin de semana. Después de dos meses, tuvieron suficiente información para crear la siguiente tabla de doble entrada:

	Pescado	Pollo	Total
Día entre semana	$65$	$79$	$144$
Fin de semana	$130$	$158$	$288$
Total	$195$	$237$	$432$

1.

Como siempre, Freddy empieza con un análisis de los datos. Encuentra estas probabilidades para ayudarle a Freddy. Escribe tus respuestas como fracciones y como porcentajes.

a.

$P (Pescado|d \overset{´}{ı} a entre semana)$

b.

$P (Pollo|fin de semana)$

c.

$P (Pescado y fin de semana)$

d.

$P (Pescado)$

e.

$P (D \overset{´}{ı} a entre semana)$

2.

¿Qué observas acerca de estas probabilidades?

a.

¿Dirías que la probabilidad de que un cliente pida pescado depende del día de la semana? Explica tu respuesta.

b.

¿Dirías que la cantidad de pescado que se necesita depende del día de la semana? Explica tu respuesta.

3.

Usa la prueba de independencia de la lección anterior para mostrar que la probabilidad de que un cliente pida pescado es independiente de que sea un día entre semana o de fin de semana.

4.

Otra relación con la que trabajamos en la lección anterior fue $P (A | B) = \frac{P (A y B)}{P (B)}$ .

a.

Usa el esquema para escribir una afirmación sobre esta relación:

$P (\underset{―}{}) = \frac{P (Pescado y d \overset{´}{ı} a entre semana)}{P (\underset{―}{})}$

b.

Despeja $P (Pescado y d \overset{´}{ı} a entre semana)$ en esta relación.

Como estas probabilidades son independientes, $P (Pescado|d \overset{´}{ı} a entre semana) = P (Pescado)$ .

Haz esta sustitución y escribe la ecuación para $P (Pescado y d \overset{´}{ı} a entre semana)$ .

Usa las probabilidades que encontraste antes para comprobar que la ecuación es verdadera.

Esta relación entre las probabilidades de los eventos independientes se usa de dos maneras. Se puede usar para determinar si los eventos son independientes y para encontrar probabilidades cuando ya se estableció que son independientes. Se llama la regla de la multiplicación y se escribe así:

$P (A y B) = P (A) \cdot P (B)$ .

A veces, por la naturaleza del problema, es evidente que los eventos son independientes.

5.

Comencemos con un dado numérico común de seis caras marcadas del 1 al 6 que se lanza una vez, se recoge y se vuelve a lanzar.

a.

¿Dirías que la probabilidad de sacar un 6 en el primer lanzamiento es independiente de la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento? ¿Por qué?

b.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5 en el primer lanzamiento? (Nota: La R representa roll en inglés).

$P (R 5) =$

c.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5 en el segundo lanzamiento?

$P (R 5) =$

d.

¿Cuál es la probabilidad de sacar un 5 en el primer lanzamiento y un 5 en el segundo lanzamiento?

$P (R 5 y R 5) =$

6.

En una feria, miras un juego que tiene una ruleta grande con ocho secciones de colores diferentes, cada una con la misma área. Las personas pagan por hacer girar la ruleta y ganan un animal gigante de peluche si la ruleta para en amarillo.

a.

¿El resultado de cada giro de la ruleta es un evento independiente? Explica tu respuesta.

b.

Mientras miras, ves que $6$ personas seguidas sacaron rojo. Piensas en apresurarte a participar en el juego porque ahora es más probable que saques amarillo. ¿Esta es una buena idea?

c.

Metes la mano en tu bolsillo y no tienes dinero para hacer girar la ruleta, entonces solo te sientas y observas. La ruleta paró en rojo otra vez y empiezas a preguntarte si este es un juego justo. ¿Qué argumento puedes darle al encargado de la feria sobre el juego?

¿Listo para más?

Johnny K tiene una bolsa de dulces ácidos de color rojo, azul, verde y amarillo que contiene $25$ dulces de cada color. ¿Cuál es la probabilidad de que saque un dulce rojo, se lo coma y después saque otro dulce rojo?

Aprendizajes

Regla de la multiplicación para eventos independientes:

Cómo usar la regla de la multiplicación para encontrar la probabilidad de la intersección de los eventos $A$ , $B$ y $C$ :

Resumen de la lección

En esta lección usamos dos métodos para mostrar que los eventos son independientes. El primer método se basa en la probabilidad condicional y el segundo método es la regla de la multiplicación. También usamos la regla de la multiplicación para encontrar la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes.

Repaso

Encuentra las intersecciones con el eje $x$ , la intersección con el eje $y$ , la recta de simetría y el vértice de las funciones cuadráticas.

1.

$f (x) = {(x - 7)}^{2} - 4$

2.

$g (x) = x^{2} + 8 x + 7$

En los problemas del 3 al 5, usa la tabla de doble entrada de frecuencias para encontrar las probabilidades.

	Tiene bicicleta	No tiene bicicleta	Total
Edad de $16 a 25$	$152$	$48$	$200$
Edad de $26 a 35$	$86$	$114$	$200$
Total	$238$	$162$	$400$

3.

$P (Tener bicicleta) =$

4.

$P (Tener bicicleta | edad de 26 a 35) =$

5.

$P (Edad de 16 a 25 o no tener bicicleta) =$