Lección 8 El factor ¡guau! Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Usar diagramas para factorizar trinomios cuando el coeficiente del primer término no es $1$ .

¿Cómo podemos factorizar $a x^{2} + b x + c$ cuando $a \neq 1$ ?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En Colchas de Óptima a veces reciben pedidos de piezas de tela que son múltiplos de una pieza dada. Por ejemplo, Óptima recibió un pedido de una pieza que era exactamente el doble de grande que otra pieza rectangular. Esta otra pieza tiene un lado que es $1$ pulgada más largo que el de tamaño estándar, $x$ , y otro lado que es $3$ pulgadas más largo que el de tamaño estándar.

1.

Este es el modelo de área de la pieza de tela, junto con las dos expresiones equivalentes que representan su área. ¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

$A (x) = 2 (x^{2} + 4 x + 3) = 2 x^{2} + 8 x + 6 = 2 (x + 3) (x + 1)$

2.

Intenta usar tus observaciones para factorizar las siguientes expresiones:

a.

$3 x^{2} + 21 x + 36$

b.

$2 x^{2} + 2 x - 4$

c.

$3 x^{2} - 27$

d.

$5 x^{2} + 10 x$

Como Óptima es una excelente gerente comercial, ofrece a sus clientes muchas opciones. Por ejemplo, rectángulos con lados que miden más de una $x$ . A continuación se muestra un modelo de área de estas piezas de tela:

$A (x) = 2 x^{2} + 7 x + 3 = (2 x + 1) (x + 3)$

3.

¿Qué observas acerca del diagrama y de la ecuación que representa el área? ¿Qué te preguntas?

4.

Usa tus observaciones para completar el diagrama. Asegúrate de completar las longitudes de los lados y las áreas que faltan.

$\begin{matrix} A (x) = & \underset{―}{} & = & \underset{―}{} \\ (forma factorizada) & (forma est \overset{´}{a} ndar) \end{matrix}$

Intenta hacer estos por tu cuenta.

5.

$A (x) = 2 x^{2} + 7 x + 3 =$

6.

$2 x^{2} - 13 x + 15$

7.

$3 x^{2} + x - 10$

Mientras trabaja en los pedidos, una de las empleadas, Anushka, se detiene y dice: “¡Espera un momento! En el problema 5 me di cuenta de que si multiplico los coeficientes del primer y último término da $6$ . Entonces, el término de la mitad se obtiene de los factores de $6$ que sumados dan $7$ . Los dos factores son $6$ y $1$ .

En el problema 6, cuando multiplico $2$ por $15$ me da $30$ . El término de la mitad se obtiene de los factores de $30$ que sumados dan $- 13$ , que son $- 10$ y $- 3$ . ¡Esto es una locura!”.

8.

¿En el problema 7 también funciona el patrón? Explica por qué sí o por qué no.

9.

Si crees que te puede ayudar el patrón que encontró Anushka, intenta escribir $A (x) = 2 x^{2} + 9 x - 5$ en forma factorizada. De lo contrario usa la estrategia que te funcione mejor.

10.

Hay un cambio más en el tipo de piezas de tela que está haciendo Óptima. Estas son las más complicadas, ¡porque ambos lados del rectángulo pueden tener una longitud de más de una $x$ !

Aquí hay un ejemplo. Usa los lados que te dan para completar el diagrama y escribe las dos expresiones que representan el área.

$\begin{matrix} A (x) = & \underset{―}{} & = & \underset{―}{} \\ (forma factorizada) & (forma est \overset{´}{a} ndar) \end{matrix}$

11.

Anushka te completó parcialmente este diagrama. El área de la pieza de tela es:

$A (x) = 6 x^{2} + 7 x + 2$ . Haz el resto.

$\begin{matrix} A (x) = & 6 x^{2} + 7 x + 2 & = & \underset{―}{} \\ (forma factorizada) \end{matrix}$

12.

Muy bien, ¡juntemos todo en algunas factorizaciones complicadas! Puede que te tardes un poco en lograr que la expresión factorizada coincida con la expresión dada. Revisa tus respuestas para asegurarte de que son correctas. Factoriza cada una de las siguientes expresiones.

a.

$10 x^{2} + 17 x + 3$

b.

$4 x^{2} - 8 x + 3$

c.

$4 x^{2} + 4 x - 3$

d.

$9 x^{2} - 9 x - 10$

¿Listo para más?

Trabaja con tu pareja y plantéale un reto: le vas a dar un trinomio para factorizarlo. Empieza con la forma factorizada y luego multiplícala. Intercambia tu trinomio con el de tu pareja, sin darle la respuesta. Tu pareja trabajará en el que escribiste y tú trabajarás en el de tu pareja. Cuando hayan terminado, revisen lo que hicieron y vean quién tiene el factor ¡guau!

Aprendizajes

Cómo factorizar trinomios de la forma $a x^{2} + b x + c$ cuando $a$ es mayor que $1$ .

Ejemplo: $4 x^{2} + 6 x - 18$

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a factorizar trinomios de la forma $a x^{2} + b x + c$ cuando $a \neq 1$ . A veces los términos tienen un factor común que se puede factorizar, lo que resulta en una expresión con la que es mucho más fácil trabajar. Cuando no hay un factor común, se pueden usar diagramas que nos ayudan a pensar en las combinaciones de números y signos para hacer que la expresión factorizada sea equivalente al trinomio.

Repaso

Para cada ecuación cuadrática indica el vértice, la recta de simetría, la ampliación, y si la cuadrática tiene un máximo o un mínimo.

1.

$f (x) = 5 {(x - 9)}^{2} + 16$

Vértice:

Recta de simetría:

Ampliación:

Máximo o mínimo:

2.

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 18$

Vértice:

Recta de simetría:

Ampliación:

Máximo o mínimo:

Dadas las intersecciones con el eje $x$ de una parábola, escribe la ecuación de la recta de simetría.

3.

Intersecciones con el eje $x$ : $(- 12, 0)$ y $(12, 0)$

4.

Intersecciones con el eje $x$ : $(- 8, 0)$ y $(20, 0)$