Lección 1 Transformaciones de cuadráticas Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Encontrar patrones en las ecuaciones y las gráficas de funciones cuadráticas.

¿Cómo cambia la gráfica de $f (x) = x^{2}$ cuando una constante se suma, resta o multiplica?

Indicaciones de uso de tecnología para la lección de hoy:

Verificar predicciones sobre transformaciones de gráficas: Casio ClassPad Casio fx-9750GIII
Investigar transformaciones de gráficas con deslizadores: Casio ClassPad

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Óptima Prime está diseñando una colcha con la cara de un robot para su nuevo nieto. La cara del robot tiene forma cuadrada. La cantidad de tela que necesita dependerá del área de la cara, así que Óptima decide modelarla matemáticamente. Óptima sabe que el área $A$ de un cuadrado, que tiene un lado de longitud $x$ unidades (por ejemplo, pulgadas o centímetros), se modela con la función $A (x) = x^{2}$ unidades cuadradas.

1.

En este contexto, ¿cuál es el dominio de la función $A (x)$ ?

2.

___
La longitud de cada lado aumenta en $5$ unidades.
___
La longitud de cada lado se multiplica por $5$ unidades.
___
El área del cuadrado aumenta en $5$ unidades cuadradas.
___
El área del cuadrado se multiplica por $5$ .

$A = 5 x^{2}$
$A = {(x + 5)}^{2}$
$A = {(5 x)}^{2}$
$A = x^{2} + 5$

3.

Óptima analiza la gráfica de $y = x^{2}$ (en el dominio de todos los números reales). Haz una tabla que tenga valores positivos y negativos de $x$ . Luego, grafica la función. ¿Qué características observas?

Óptima se pregunta qué efecto tienen en la gráfica los cambios en la ecuación de la función, como sumar $5$ o multiplicar por $5$ . Por esto, decide hacer predicciones acerca de los efectos para luego comprobarlas.

4.

Predice en qué se parecerán y en qué se diferenciarán la gráfica de $y = x^{2}$ y las gráficas de cada una de las siguientes ecuaciones.

	En qué se parece a la gráfica de $y = x^{2}$	En qué se diferencia de la gráfica de $y = x^{2}$
$y = 5 x^{2}$
$y = {(x + 5)}^{2}$
$y = {(5 x)}^{2}$
$y = x^{2} + 5$

5.

Óptima decidió poner a prueba sus ideas con ayuda de tecnología. Ella cree que siempre es mejor empezar con algo sencillo, así que decide graficar $y = x^{2} + 5$ . Óptima grafica esta función junto a $y = x^{2}$ en la misma ventana. Pruébalo tú también y describe lo que encuentras.

6.

Como sabe que todo se entiende mejor con más representaciones, Óptima hizo las tablas y gráficas de un par de ejemplos más: $y = x^{2} + 2$ y $y = x^{2} - 3$ . ¿Qué concluyes acerca del efecto de sumar o restar un número a $y = x^{2}$ ? Cuidadosamente, crea las tablas y gráficas de estos dos ejemplos. Luego, explica por qué tu conclusión sería verdadera para cualquier valor de $k$ , dada $y = x^{2} + k$ .

7.

Después de su gran éxito con la suma en el último problema, Óptima decide ver qué pasa con la suma y la resta dentro de los paréntesis o, como ella dice: “Sumarle a la $x$ antes de elevarla al cuadrado”. Con ayuda de tecnología, determina cuál es el efecto de $h$ en las ecuaciones $y = {(x + h)}^{2}$ y $y = {(x - h)}^{2}$ . (Escoge algunos números específicos para $h$ ). Inventa unos cuantos ejemplos (con tablas y gráficas) y explica por qué tiene este efecto en la gráfica.

8.

Óptima esperaba que la multiplicación fuera más fácil, pero le pareció muy complicado el problema 7. Ella decide empezar por algo más sencillo y multiplicar por $- 1$ , así que empieza con $y = - x^{2}$ . Predice el efecto que tiene esta multiplicación en la gráfica y luego pon a prueba tu predicción. ¿Por qué tiene este efecto?

9.

Óptima está motivada porque pudo solucionar el último problema. Para terminar, ella decide investigar el efecto que tendría el multiplicador, $a$ , en la ecuación $y = a x^{2}$ . Crea al menos dos tablas y sus gráficas correspondientes para determinar el efecto de un multiplicador. Usa números positivos y negativos, fracciones y números enteros.

¿Listo para más?

Con ayuda de tecnología explora el comportamiento de la recta $y = x$ . Si el punto $(0, 0)$ se usa como punto guía, al igual que $(0, 0)$ en la gráfica de la parábola, ¿las transformaciones que descubriste en el caso de la parábola también funcionarán para una recta? ¿Por qué sí o por qué no?

Aprendizajes

Ecuación	Transformación de $y = x^{2}$
$y = x^{2} + k$
$y = {(x - h)}^{2}$
$y = {(x + h)}^{2}$
$y = - x^{2}$
$y = a x^{2}$

Notación, convenciones y vocabulario

Vértice:

Recta de simetría:

Vocabulario

ampliación vertical
desplazamiento horizontal
desplazamiento vertical
parábola
recta de simetría
reflexión
simetría
transformaciones de una función (no rígidas)
transformaciones de una función (rígidas)
vértice
ángulo
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos las transformaciones de la función $y = x^{2}$ . Encontramos desplazamientos verticales y horizontales, reflexiones y ampliaciones verticales de la parábola. Usamos tablas y nuestra comprensión de las funciones para justificar por qué los cambios en la ecuación transforman la gráfica.

Repaso

Dibuja una recta de simetría en la gráfica. Indica si la gráfica tiene un punto máximo o un punto mínimo, y escribe las coordenadas de ese punto.

1.

2.

Grafica las ecuaciones lineales y explica tu estrategia.

3.

$f (x) = - 4 (x + 3) + 7$

4.

$3 x - 4 y = 24$