Lección 4 Un asunto cuadrado Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Encontrar un proceso para completar el cuadrado que funcione en todas las funciones cuadráticas.

Adaptar diagramas para ser más eficientes al completar el cuadrado.

¿Cómo podemos completar el cuadrado cuando hay más de un cuadrado (es decir, cuando $a \neq 1$ en $a x^{2} + b x + c$ )?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

¿Recuerdas la tienda de colchas de Óptima? Sus diseños se basan en cuadrados de tela que varían en tamaño. La longitud del lado del cuadrado básico es $x$ y la función $A (x) = x^{2}$ es el área del cuadrado básico. De esta manera, Óptima puede personalizar los diseños haciendo cuadrados más grandes o más pequeños.

1.

Algunos clientes piden más de un cuadrado de tela del mismo tamaño. Por ejemplo, cuando un cliente pide $4$ cuadrados del tamaño básico, la asesora de servicio al cliente escribe en el pedido $A (x) = 4 x^{2}$ . Modela con un diagrama esta expresión de área.

2.

Una de las asesoras de servicio al cliente encuentra un sobre con las piezas de tela que se muestran a continuación. Escribe las dos ecuaciones equivalentes que representan el área de las piezas de tela.

3.

Si las asesoras de servicio al cliente reciben un pedido de $2$ cuadrados de tela cuyos lados miden $1$ pulgada más que los lados del cuadrado básico, ¿qué ecuaciones podrían escribir para representar el área? Escribe las ecuaciones de dos formas equivalentes. Usa un diagrama para comprobar tus ecuaciones.

4.

¿Qué pasaría si las asesoras de servicio al cliente reciben un pedido de $3$ cuadrados de tela cuyos lados miden $2$ pulgadas más que los lados del cuadrado básico? De nuevo, muestra dos ecuaciones diferentes que representen el área y usa un modelo para comprobar lo que hiciste.

5.

¡Clementine vuelve a hacer de las suyas! Cuándo aprenderá esa perrita a no mordisquear los pedidos. (También mordisquea los zapatos de Óptima, pero esa historia la dejamos para otro día). Estos son algunos de los pedidos mordisqueados que quedaron sin el último término. Ayuda a Óptima a completar cada una de las siguientes expresiones para que describan un cuadrado perfecto. Después, escribe dos ecuaciones equivalentes que representen el área del cuadrado.

a.

$2 x^{2} + 8 x$

b.

$3 x^{2} + 24 x$

A veces en la tienda reciben pedidos que resultan ser más o menos que un cuadrado perfecto. Las asesoras de servicio al cliente intentan llenar los pedidos con cuadrados perfectos, o al menos empiezan por ahí y luego hacen los cambios necesarios. Siempre escriben sus ecuaciones de forma que relacionen el área con el cuadrado perfecto más cercano.

6.

¡Esto sí que es un desorden! Las asesoras de servicio al cliente recibieron un pedido de área $A (x) = 2 x^{2} + 12 x + 13$ . Usa el diagrama para ayudarlas a encontrar una expresión equivalente que represente la misma área.

7.

Óptima realmente necesita organizarse. Este es otro diagrama desordenado. Escribe dos ecuaciones equivalentes que representen el área de este diagrama.

8.

Óptima comprendió que no todos sus clientes necesitan cuadrados perfectos y que no todos los pedidos vienen como expresiones que son cuadrados perfectos. En cada caso, determina si la expresión es un cuadrado perfecto y muestra por qué. Si no lo es, encuentra el cuadrado perfecto que parezca “más cercano” a la expresión dada y muestra cómo se puede modificar el cuadrado perfecto para que sea equivalente a la expresión.

a.

$A (x) = x^{2} + 6 x + 13$

b.

$A (x) = x^{2} - 8 x + 16$

c.

$A (x) = x^{2} - 10 x - 3$

d.

$A (x) = 2 x^{2} + 8 x + 14$

e.

$A (x) = 3 x^{2} - 30 x + 75$

f.

$A (x) = 2 x^{2} - 22 x + 11$

9.

Ahora generalicemos. Dada una expresión de la forma $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ , describe un proceso paso a paso para completar el cuadrado.

¿Listo para más?

Usa el proceso para completar el cuadrado en la siguiente expresión:

$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x + 8$

Aprendizajes

Cómo completar el cuadrado en $y = a x^{2} + b x + c$ cuando $a = 1$

Ejemplo:	Diagrama

Cómo completar el cuadrado en $y = a x^{2} + b x + c$ cuando $a \neq 1$

Ejemplo:	Diagrama

Resumen de la lección

En esta lección afianzamos un proceso para completar el cuadrado en expresiones de la forma $a x^{2} + b x + c$ cuando $a \neq 1$ . Aprendimos un procedimiento algebraico acompañado de un diagrama de área que respalda nuestro trabajo. También usamos la propiedad distributiva para verificar que la expresión que obtenemos al completar el cuadrado es equivalente a la expresión original.

Repaso

En cada una de las gráficas, indica cuál es la intersección con el eje $y$ . Después, empareja la gráfica con su ecuación.

$f (x) = x^{2} + 5 x + 3$
$g (x) = - x^{2} + 5 x - 3$
$h (x) = x^{2} + 5 x - 3$

1.

Intersección con el eje $y$ :

Ecuación:

2.

Intersección con el eje $y$ :

Ecuación:

3.

Intersección con el eje $y$ :

Ecuación:

Encuentra los valores indicados de $g (x) = - x^{2} + 5 x - 3$ .

4.

$g (2)$

5.

$g (5)$

6.

$g (- 3)$