Lección 7 El factor x Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Encontrar patrones en signos y números que ayuden a factorizar y multiplicar expresiones.

Usar diagramas de área para multiplicar binomios con signos diferentes.

Usar diagramas de área para factorizar trinomios cuando algunos de los términos son negativos.

¿Qué les pasa a los factores de una expresión cuadrática cuando algunos de los términos son negativos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Ahora que en Colchas de Óptima aceptan pedidos de piezas rectangulares, el negocio crece a pasos agigantados. Muchos clientes quieren piezas rectangulares que sean más largas en un lado que la pieza cuadrada estándar. Por ejemplo, a veces quieren que un lado tenga la longitud estándar, $x$ , y que el otro lado tenga $2$ pulgadas más de largo.

1.

Dibuja y marca esta pieza. Escribe dos expresiones diferentes que representen el área de la pieza.

Otras veces, quieren que un lado tenga la longitud estándar, $x$ , y que el otro lado tenga $2$ pulgadas menos que la longitud estándar.

2.

Dibuja y marca esta pieza. Escribe dos expresiones diferentes que representen el área de la pieza. Usa tu diagrama y comprueba algebraicamente que las dos expresiones son equivalentes.

En la tienda se solicitan piezas de varios tamaños. La longitud de los lados de las piezas se basa en la longitud estándar, $x$ . Dibuja y marca cada una de las siguientes piezas. Usa tus diagramas para escribir dos expresiones equivalentes que representen el área. Comprueba algebraicamente que las dos expresiones son iguales.

3.

Un lado mide $1$ pulgada menos que el lado de tamaño estándar y el otro lado mide $2$ pulgadas más que el lado de tamaño estándar.

4.

Un lado mide $2$ pulgadas menos que el lado de tamaño estándar y el otro lado mide $3$ pulgadas más que el lado de tamaño estándar.

5.

Un lado mide $2$ pulgadas más que el lado de tamaño estándar y el otro lado mide $3$ pulgadas menos que el lado de tamaño estándar.

6.

Un lado mide $3$ pulgadas más que el lado de tamaño estándar y el otro lado mide $4$ pulgadas menos que el lado de tamaño estándar.

7.

Un lado mide $4$ pulgadas más que el lado de tamaño estándar y el otro lado mide $3$ pulgadas menos que el lado de tamaño estándar.

8.

Una expresión que tiene tres términos de la forma $a x^{2} + b x + c$ se llama un trinomio. Examina de nuevo los trinomios que escribiste en los problemas del 3 al 7. ¿Cómo puedes saber si el término de la mitad $(b x)$ será positivo o negativo?

9.

Una clienta tiene una solicitud inusual. Quiere una pieza en la que la longitud de un lado se extienda $2$ pulgadas y la longitud del otro lado se disminuya $2$ pulgadas. Una de las empleadas cree que este rectángulo tendrá la misma área que el cuadrado original, porque la longitud de un lado se disminuyó lo mismo que se aumentó en el otro lado. ¿Qué piensas? Usa un diagrama para encontrar dos expresiones que representen el área de esta pieza de tela.

10.

El resultado de esa solicitud inusual despertó la curiosidad de la empleada. Cuando un lado se extiende y el otro se reduce la misma longitud, ¿hay algún patrón o forma de predecir las dos expresiones que representan el área? Intenta modelar estos dos problemas. Examina tu respuesta al problema 8 y trata de encontrar un patrón en el resultado.

a.

$(x + 1) (x - 1)$

b.

$(x + 3) (x - 3)$

11.

¿Qué patrón observaste? ¿Cuál es el resultado de $(x + a) (x - a)$ ?

12.

Algunos clientes quieren que se reduzca la longitud de ambos lados de la pieza. En cada caso, dibuja un diagrama de la pieza y encuentra un trinomio que represente el área. Usa álgebra para verificar el trinomio que encontraste a partir del diagrama.

a.

$(x - 2) (x - 3)$

b.

$(x - 1) (x - 4)$

13.

Revisa de nuevo todas las expresiones equivalentes que has escrito hasta ahora. Explica cómo sabes si el tercer término del trinomio $x^{2} + b x + c$ será positivo o negativo.

14.

En la tienda recibieron una serie de pedidos que están escritos como trinomios que representan un área rectangular. En cada caso, encuentra la expresión equivalente que muestra las longitudes de los lados del rectángulo.

a.

$x^{2} + 9 x + 18$

b.

$x^{2} + 3 x - 18$

c.

$x^{2} - 3 x - 18$

d.

$x^{2} - 9 x + 18$

e.

$x^{2} - 5 x + 4$

f.

$x^{2} - 3 x - 4$

g.

$x^{2} + 2 x - 15$

15.

Escribe una explicación sobre cómo factorizar un trinomio de la forma $x^{2} + b x + c$ , donde $b$ y $c$ pueden ser números positivos o negativos.

¿Listo para más?

$x^{2} + 17 x + 72$ es un trinomio que se puede factorizar. Observa que en este trinomio $c = 72$ . ¿Qué otros trinomios que se pueden factorizar encuentras con $c = 72$ o $- 72$ ? Escribe cada uno como un trinomio y como un producto de dos factores.

Aprendizajes

Cómo multiplicar binomios, como $(x + m) (x - n)$ , para obtener un trinomio de la forma $x^{2} + b x + c$ .

El patrón de la diferencia de cuadrados:

Pasos para factorizar un trinomio de la forma $x^{2} + b x + c$ , donde $b$ y $c$ pueden ser positivos o negativos:

Con un diagrama de área:

Sin un diagrama de área:

Vocabulario

productos especiales de binomios
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a multiplicar binomios que tenían un número positivo y uno negativo respectivamente. Descubrimos un patrón útil llamado “diferencia de cuadrados” que ocurre cuando los dos factores (binomios) tienen los mismos números pero signos opuestos. Además, aprendimos a factorizar trinomios que tienen términos positivos y negativos, y usamos patrones de signos y números para asegurarnos de que la expresión factorizada es equivalente al trinomio.

Repaso

En cada caso, indica cuáles son las características importantes que se dan o que se pueden encontrar fácilmente a partir de la forma en que está escrita la ecuación lineal.

1.

$g (x) = 3 (x + 9) - 2$

2.

$8 x - 3 y = 48$

3.

$h (x) = \frac{2}{3} x + 4$

4.

Grafica la parábola. Ubica con precisión el vértice y dos puntos a cada lado del eje de simetría.

$f (x) = 2 {(x - 3)}^{2} - 6$