Lección 6 Afirmaciones y conjeturas Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
En una lección anterior, creaste el siguiente diagrama al rotar un triángulo alrededor del punto medio de uno de sus lados.
Hoy vamos a repetir este diagrama hasta llenar la hoja. Este tipo de diagrama que llena el plano se llama una teselación. Las teselaciones son diagramas que se crean al repetir una secuencia de figuras, producidas por traslaciones, rotaciones o reflexiones, que llenan completamente un plano sin espacios ni superposiciones.
Primero, recorta un triángulo escaleno de la tarjeta de 3x5. El lado más largo debe medir menos de 3 pulgadas. Usa la regla para trazar los lados, de manera que sean segmentos rectos.
Usa la regla para ubicar y marcar el punto medio de cada lado de tu triángulo. Colorea cada uno de sus ángulos con un color distinto.
Dibuja tu triángulo en el medio de la hoja en blanco. Colorea los ángulos del triángulo que dibujaste de modo que tengan el mismo color de los ángulos correspondientes del triángulo que recortaste y que vas a rotar.
Construye tu teselación rotando el triángulo alrededor del punto medio de uno de sus lados. Traza el triángulo en su nueva posición y colorea los ángulos con los colores que tienen asignados. Sigue rotando, trazando y coloreando varios triángulos hasta que tu hoja se empiece a llenar horizontal y verticalmente.
Focos de aprendizaje
Hacer conjeturas sobre los ángulos opuestos y los ángulos externos de un triángulo, mediante el análisis de un diagrama.
Hacer conjeturas sobre los ángulos que se forman cuando una recta interseca dos o más rectas paralelas, mediante el análisis de un diagrama.
Las teselaciones son diagramas que se crean al repetir una secuencia de figuras producidas por traslaciones, rotaciones o reflexiones, que llenan completamente un plano sin espacios ni superposiciones. ¿Qué muestran las teselaciones acerca de las relaciones entre los ángulos que se forman cuando una recta interseca dos o más rectas paralelas?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Extendimos el diagrama de la lección “¿Cómo sabes eso?” hasta formar una teselación del plano, como se muestra en la figura. Para ello, rotamos una y otra vez los triángulos imagen alrededor de los puntos medios de sus lados.
A partir de este diagrama, haremos algunas conjeturas acerca de las rectas, los ángulos y los triángulos. En la siguiente actividad, escribiremos demostraciones para convencernos de que nuestras conjeturas siempre son verdaderas.
En este diagrama hay algunos ángulos que no conocemos, así que primero debemos darles un nombre y definirlos. Lee las siguientes descripciones de cada uno de estos ángulos y luego anota las definiciones en tus propias palabras.
Ángulos opuestos
Cuando dos líneas rectas se intersecan, los ángulos adyacentes forman pares lineales de ángulos porque son ángulos suplementarios (es decir, las medidas de esos ángulos suman
1.
Analiza el diagrama de la teselación y busca en dónde hay ángulos opuestos. (Puede que tengas que ignorar algunos segmentos de recta y ángulos para concentrarte en los pares de ángulos opuestos. Esta es una habilidad que tenemos que desarrollar cuando intentamos identificar imágenes específicas en diagramas geométricos).
A partir de los ejemplos que hay en el diagrama, escribe una conjetura acerca de los ángulos opuestos.
Mi conjetura:
Ángulos externos de un triángulo
Cuando un lado de un triángulo se extiende en una línea recta, como en este diagrama, el ángulo suplementario que se forma en la parte externa del triángulo se llama un ángulo externo. Observa que el ángulo externo y el ángulo interno adyacente forman un par lineal de ángulos. Los dos ángulos del triángulo que no son adyacentes al ángulo externo se conocen como los ángulos internos no adyacentes. En el diagrama, el ángulo
2.
Analiza el diagrama de la teselación y busca dónde hay ángulos externos de un triángulo. (De nuevo, puede que tengas que ignorar algunos segmentos de recta y ángulos para concentrarte en los triángulos y sus ángulos externos). A partir de los ejemplos del diagrama, escribe una conjetura acerca de los ángulos externos.
Mi conjetura:
Rectas paralelas cortadas por una transversal
Cuando una línea recta interseca dos o más líneas rectas, esa recta se llama una transversal. Cuando las otras rectas son paralelas entre sí, se forman relaciones especiales entre los ángulos. Para identificar estas relaciones, les damos nombres a determinados pares de ángulos que se forman cuando una transversal corta las rectas. En el diagrama de abajo, los ángulos
3.
Analiza el diagrama de la teselación y busca en dónde hay rectas paralelas cortadas por una transversal. A partir de los ejemplos de rectas paralelas y transversales del diagrama, escribe algunas conjeturas acerca de los ángulos correspondientes, los ángulos alternos internos y los ángulos internos del mismo lado.
Mi conjetura:
¿Listo para más?
Justifiquemos nuestra conjeturas
En la siguiente lección, tendrás que escribir una demostración que te convenza a ti y a los demás de que las conjeturas que acabas de escribir siempre son verdaderas. Para justificar tus argumentos, podrás usar tus ideas sobre transformaciones, pares lineales, criterios de congruencia de triángulos, etc. Un buen comienzo es escribir todo lo que sabes sobre el diagrama y luego identificar cuáles afirmaciones puedes usar para exponer tus argumentos. Prepárate para la próxima lección repasando cada una de las conjeturas que escribiste y anotando las ideas que te parezcan útiles para demostrar que la conjetura es verdadera.
Aprendizajes
A partir del análisis de un diagrama, propusimos las siguientes conjeturas:
Ángulos opuestos
Conjetura:
Ángulos externos de un triángulo
Conjetura:
Rectas paralelas cortadas por una transversal
Conjetura:
Notación, convenciones y vocabulario
Ángulos opuestos:
Ángulos externos de un triángulo:
Ángulos interiores no adyacentes de un triángulo:
Transversal:
Ángulos adyacentes:
Ángulo llano:
Par lineal de ángulos:
Ángulos suplementarios:
Ángulos formados por una transversal que interseca dos rectas paralelas
Ángulos alternos internos:
Ángulos correspondientes:
Ángulos internos del mismo lado:
Vocabulario
- par lineal
- recta transversal
- teorema del ángulo externo
- teselación
- ángulo externo de un triángulo (ángulos internos no adyacentes)
- ángulo llano
- ángulos adyacentes
- ángulos alternos externos
- ángulos alternos internos
- ángulos correspondientes
- ángulos formados por una transversal
- ángulos internos del mismo lado
- ángulos opuestos
- ángulos suplementarios
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección usamos el diagrama de una teselación marcado con distintos colores para escribir conjeturas sobre las relaciones entre diferentes grupos de ángulos. Entre ellos están: los ángulos opuestos, que se forman por la intersección de dos rectas; los ángulos externos de un triángulo, que se forman al extender un lado de un triángulo, y los ángulos que se forman cuando una recta llamada “transversal” interseca dos rectas paralelas.
A partir del diagrama, justifica cada una de las siguientes afirmaciones.
1.
2.
3.
En un grado anterior, estudiaste funciones con valor absoluto. En cada caso, dibuja la gráfica de la función a partir de la ecuación dada.