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Lección 1 ¿Cómo sabes eso? Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

Observa y pregúntate

Cuatro estudiantes dijeron que la suma de dos números impares parece ser siempre un número par, pero sus compañeros no están convencidos de que esto siempre sea cierto. Cada estudiante dio una explicación distinta acerca de por qué piensa que su afirmación es correcta.

Escribe al menos dos cosas que observes y una cosa que te preguntes acerca de las siguientes explicaciones:

Estudiante 1:

Escuché a una de mis profesoras decir que la suma de dos números impares siempre es par, y ella sabe todo sobre las matemáticas.

Estudiante 2:

Probé muchos ejemplos, y descubrí que la suma de dos números impares siempre es par. Por ejemplo, y .

Estudiante 3:

Sé que cuando hay un número impar de objetos se pueden emparejar en grupos de 2 y sobra un objeto. Si combino dos de esos grupos, los objetos extra también se van a emparejar. Por eso, la suma de dos números impares será siempre par. Dibujé este diagrama para mostrar lo que pensé:

five pairs of squares and one single square in a group circled in black, three pairs of squares and one single square circled in black. The single squares are circled in green together.

Estudiante 4:

Como un número impar es uno más que un número par, puedo representar algebraicamente los números impares como o .

Si sumo dos números impares, obtengo:

La última expresión, , es par, ya que es veces algo. Por eso, la suma de dos números impares siempre es par.

Focos de aprendizaje

Analizar formas de saber que la suma de los ángulos de un triángulo es .

¿Cómo sé que algo es verdadero? ¿Hay diferentes formas de saber o aceptar que las cosas son verdaderas?

Cuando observo un patrón en ejemplos o a través de la experimentación, ¿cómo me convenzo de que mi conjetura siempre será verdadera?

Sin importar la forma o el tamaño de un triángulo, ¿hay otra característica común a todos los triángulos, además de ser polígonos de tres lados?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Puede que sepas que la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es . (Y si no lo sabías, ¡ahora lo sabes!). Pero una pregunta importante que te puedes hacer es “¿Cómo sé eso?”.

Aceptamos muchas cosas porque alguien con autoridad nos las dice: cosas como que la distancia de la Tierra al Sol es o que la población de los Estados Unidos crece aproximadamente cada año. Otras cosas simplemente están definidas, como el hecho de que hay en una milla. Algunas cosas las aceptamos como verdaderas basándonos en la experiencia o en experimentos repetitivos, como que el Sol siempre sale por el este o que “me castigan cada vez que me quedo fuera después de medianoche”. En matemáticas tenemos maneras más formales de decidir si algo es verdadero.

Experimento #1

Recorta varios triángulos de tamaños y formas distintos. Recorta las esquinas (ángulos) de cada triángulo. Organiza los vértices de los ángulos de tal manera que se encuentren en un solo punto, con los lados de los ángulos (rayos) tocándose entre sí como las piezas de un rompecabezas.

1.

¿Qué muestra este experimento acerca de la suma de los ángulos internos de los triángulos que recortaste? ¿Cómo lo muestra?

2.

Como tú y tus compañeros realizaron este experimento con varios triángulos diferentes, ¿esto garantiza que observaremos el mismo resultado en todos los triángulos? ¿Por qué sí o por qué no?

Experimento #2

Quizás otro experimento sea más convincente. Recorta otro triángulo y trázalo en una hoja. Será de ayuda que colorees cada ángulo del triángulo original con un color diferente. A medida que se produzcan las imágenes nuevas del triángulo durante el experimento, colorea los ángulos correspondientes con los mismos colores.

  • Ubica los puntos medios de cada lado del triángulo que recortaste. Para hacerlo, dobla cada lado de tal manera que los vértices que forman los extremos del lado queden uno sobre el otro.

  • Rota tu triángulo alrededor del punto medio de uno de sus lados. Traza el triángulo nuevo en tu hoja y colorea los ángulos de este triángulo imagen de tal manera que las parejas de ángulos correspondientes de la imagen y la preimagen sean del mismo color.

  • Ahora rota el nuevo triángulo imagen alrededor del punto medio de alguno de los otros dos lados. Traza el triángulo nuevo en tu hoja y colorea los ángulos de este nuevo triángulo imagen de tal manera que las parejas de ángulos correspondientes de la imagen y la preimagen sean del mismo color.

3.

¿Qué muestra este experimento acerca de la suma de los ángulos internos del triángulo que recortaste? ¿Cómo lo muestra?

4.

¿Crees que puedes rotar todos los triángulos de la misma manera, alrededor de los puntos medios de sus lados, y obtener los mismos resultados? ¿Por qué sí o por qué no?

¿Listo para más?

Analicemos el diagrama

El experimento #2 produjo una secuencia de triángulos como la que se muestra en los diagramas.

Triangle ABC with Angle A with a green arc, angle B with a blue arc, and angle C with a red arc.
Triangle ABC with Angle A with a green arc, angle B with a blue arc, and angle C with a red arc. Triangle A'BC with Angle A' with green arc, angle B with red arc and angle C with blue arc. Triangle ABC and Triangle A'BC share side BC.
Triangle ABC with Angle A with a green arc, angle B with a blue arc, and angle C with a red arc. Triangle A'BC with Angle A' with green arc, angle B with red arc and angle C with blue arc. Triangle ABC and Triangle A'BC share side BC. Triangle A'CC" with Angle A' with blue arc, angle C with green arc, and angle C" with red arc. Triangle A'CC" and Triangle A'BC share side A'C.

Algunas cosas que podemos preguntarnos acerca de este diagrama:

  • ¿La segunda figura de la secuencia siempre será un paralelogramo? ¿Por qué sí o por qué no?

  • ¿La última figura de la secuencia siempre será un trapecio? ¿Por qué sí o por qué no?

Aprendizajes

Hoy aprendimos cuatro “formas de saber”:

Vimos estas formas de saber en lo que hicimos hoy cuando conjeturamos:

Lo que ahora acepto como verdadero porque:

Observé:

y pensé en

lo que me llevó a creer

Así que, mi forma de saber que esta conjetura es verdadera es

Tipos de razonamiento en geometría:

Razonamiento inductivo: Este tipo de razonamiento consiste en hacer conjeturas basándose en la experimentación a través de varios ejemplos.

Razonamiento deductivo: Este tipo de razonamiento consiste en usar

  • propiedades,

  • definiciones,

  • postulados (),

  • o teoremas ().

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección exploramos distintas formas de saber si algo es verdadero. Por ejemplo, basarse en lo que alguien con autoridad nos dice, frente a saberlo a través de la experimentación o del razonamiento con ayuda de un diagrama. Analizamos estas formas de saber cuando intentamos justificar cómo sabemos que la suma de los ángulos de un triángulo es .

Repaso

1.

Usa el diagrama para determinar cuáles de las afirmaciones son correctas y cuáles son incorrectas. Después explica por qué.

Triangle FEC with line segment EG with Point G on FC. Angle ECG is labeled with one arc, angle GEC with three arcs, angle F with two arcs, and angle EGC is a right angle. Triangle ACB with line segment CD with Point D on AB. Angle A is labeled with one arc, angle ACD with three arcs, angle F with two arc, and angle CDA is a right angle.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Un ángulo que mide forma una línea recta y se llama un ángulo llano. Si dos ángulos comparten un vértice y forman un ángulo llano, se llaman un par lineal. Se llaman así porque forman una línea recta.

Usa esta información sobre un par lineal para encontrar la medida del ángulo desconocido.

2.

A line divided into two angles, one angle labeled 30 degrees. 30°

3.

A line divided into two angles, one angle labeled 140 degrees. 140°

4.

Two lines intersecting, one of the angles of intersection labeled 163 degrees. 163°