Lección 7 Justificación y demostración Practico lo que aprendí
Actividad inicial
Dada la afirmación condicional: “Si llueve, las aceras están mojadas”.
1.
Escribe la recíproca de la afirmación condicional:
2.
Suponiendo que la afirmación condicional dada es verdadera (es decir, las aceras están expuestas a la lluvia), ¿la recíproca es una afirmación verdadera? Explica por qué sí o por qué no.
Focos de aprendizaje
Practicar cómo plasmar ideas de demostración en demostraciones escritas en diferentes formas.
¿Qué debo tener en cuenta al escribir una demostración formal?
¿De qué forma debo escribir las demostraciones: párrafo, dos columnas o diagrama de flujo? ¿Cómo me ayuda cada una de estas formas a justificar mis ideas?
¿A qué conocimientos puedo recurrir: transformaciones rígidas, criterios de congruencia de triángulos, álgebra?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
El diagrama de la lección “¿Cómo sabes eso?” se extendió rotando una y otra vez los triángulos imagen alrededor de los puntos medios de sus lados hasta formar una teselación del plano, como se muestra en la figura.
En la lección anterior, usaste este diagrama para hacer algunas conjeturas acerca de las rectas, los ángulos y los triángulos. En esta actividad, vas a escribir demostraciones que te convenzan a ti y a otros de que esas conjeturas siempre son verdaderas.
Para cada una de las siguientes conjeturas, escribe las demostraciones de la forma que quieras: un diagrama de flujo, una demostración en dos columnas, un párrafo o una demostración algebraica.
Ángulos opuestos
Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos que se forman en el punto de intersección y que están uno frente al otro se llaman ángulos opuestos. En el diagrama, los ángulos
1.
Dado que:
Demuestra que:
Ángulos externos de un triángulo
Cuando un lado de un triángulo se extiende, como en el diagrama, el ángulo que se forma en la parte externa del triángulo se llama un ángulo externo. Los dos ángulos del triángulo que no son adyacentes al ángulo externo se conocen como los ángulos internos no adyacentes. En el diagrama, el ángulo
2.
Dado que: El ángulo
Demuestra que:
Rectas paralelas cortadas por una transversal
Cuando una recta interseca dos o más rectas, esa recta se llama una transversal. Cuando las otras rectas son paralelas entre sí, se forman relaciones especiales entre los ángulos. Para identificar esas relaciones, les damos nombres a determinados pares de ángulos que se forman cuando una transversal corta las rectas. En el diagrama, los ángulos
3.
Dado que:
Demuestra que: Los ángulos correspondientes
4.
Dado que:
Demuestra que: Los ángulos alternos internos
5.
Dado que:
Demuestra que: Los ángulos internos del mismo lado
6.
¿Qué estrategias parecen útiles para empezar una demostración?
¿Listo para más?
Demuestra el recíproco del teorema de los ángulos alternos internos y del teorema de los ángulos correspondientes:
1.
Dado que: Los ángulos alternos internos
Demuestra que:
2.
Dado que: Los ángulos correspondientes
Demuestra que:
Aprendizajes
Hoy demostramos los siguientes teoremas:
Cuando una transversal corta rectas paralelas,
También demostramos los siguientes teoremas, que eran afirmaciones recíprocas de otros teoremas:
Algunas de mis estrategias para empezar una demostración son:
Algunas de las estrategias de mis compañeros son:
Vocabulario
- afirmación recíproca
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección practicamos cómo escribir las demostraciones de las conjeturas que exploramos anteriormente. Demostramos varios teoremas útiles acerca de las relaciones que hay entre los ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal. Al igual que los criterios de congruencia de triángulos, estos teoremas sobre rectas paralelas serán útiles en demostraciones futuras.
Usa un compás y una regla para construir cada figura.
1.
Construye un rombo. Usa el segmento
2.
Construye la mediatriz del segmento de recta y la bisectriz del ángulo.
a.
b.
3.
Encuentra el valor de
También encuentra cuánto mide el ángulo