Lección 8 Conjeturas y demostraciones sobre paralelogramos Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
¿Qué problemas tiene esta demostración?
Dado que: El cuadrilátero
Demuestra que: La diagonal
Se dibuja la diagonal
Por lo tanto,
Focos de aprendizaje
Usar los teoremas acerca de las relaciones entre los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas para demostrar las propiedades de los paralelogramos.
Anteriormente, hicimos varias conjeturas acerca de las propiedades de los tipos especiales de paralelogramos: rombos, rectángulos y cuadrados. ¿Cómo podemos demostrar que nuestras conjeturas sobre los paralelogramos son verdaderas?
¿Cómo podemos demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo si no sabemos que los lados opuestos son paralelos? Es decir, ¿qué otras características definen a un paralelogramo?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
1.
Explica cómo ubicarías el centro de rotación del siguiente paralelogramo. ¿Qué te hace estar convencido de que el punto que ubicaste es el centro de rotación?
Anteriormente, hiciste conjeturas acerca de las propiedades de los paralelogramos. Estas conjeturas se basaron en identificar la simetría con respecto a una recta y la simetría rotacional de varios tipos de paralelogramos. Ahora que sabemos más acerca de los ángulos que se forman cuando una transversal corta rectas paralelas y que tenemos los criterios para convencernos de que dos triángulos son congruentes, podemos demostrar formalmente algunas de las cosas que observamos en nuestros experimentos acerca de los paralelogramos.
2.
Si todavía no lo has hecho, dibuja una de las diagonales del paralelogramo (o ambas). Usa este diagrama para demostrar esta afirmación: “Los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes”.
3.
Si todavía no lo has hecho, dibuja una de las diagonales del paralelogramo (o ambas). Usa este diagrama para demostrar esta afirmación: “Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes”.
4.
Usa este diagrama para demostrar esta afirmación: “Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí”.
¿Listo para más?
Las afirmaciones que demostramos amplían nuestro conocimiento sobre las propiedades de todos los paralelogramos más allá de su definición. Es decir, no solo los lados opuestos son paralelos sino también son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes y las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí. Además, un paralelogramo tiene una simetría de rotación de
Si tenemos un cuadrilátero con algunas de estas propiedades, ¿podemos convencernos de que es un paralelogramo? ¿Cuántas de estas propiedades debemos saber antes de concluir que un cuadrilátero es un paralelogramo?
En la sección “¿Listo para más?” de la lección “Justificación y demostración”, demostraste los siguientes teoremas:
Si los ángulos alternos internos formados por dos rectas y una transversal son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Si los ángulos correspondientes formados por dos rectas y una transversal son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
Estos teoremas son útiles para demostrar que los cuadriláteros con las características dadas son paralelogramos.
Considera las siguientes afirmaciones. Si piensas que la afirmación es verdadera, haz un diagrama y escribe un argumento convincente que demuestre la afirmación.
a.
Si los lados opuestos y los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, el cuadrilátero es un paralelogramo.
b.
Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, el cuadrilátero es un paralelogramo.
c.
Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, el cuadrilátero es un paralelogramo.
d.
Si las diagonales de una cuadrilátero se bisecan entre sí, el cuadrilátero es un paralelogramo.
Aprendizajes
Anteriormente, propusimos muchas conjeturas acerca de los paralelogramos como resultado de realizar y analizar experimentos con transformaciones rígidas. Hoy demostramos formalmente los siguientes teoremas sobre paralelogramos:
También consideramos algunas formas de mostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo. Usamos afirmaciones recíprocas, como:
En nuestras demostraciones, usamos las definiciones de las transformaciones rígidas y los criterios de congruencia de los triángulos, así como los postulados y teoremas sobre rectas paralelas.
Las transformaciones rígidas son más útiles cuando
Los criterios de congruencia de triángulos son más útiles cuando
Los postulados de rectas paralelas y los teoremas acerca de las relaciones entre los ángulos formados por rectas paralelas y una transversal son más útiles cuando
Resumen de la lección
En esta lección recurrimos a nuestro conocimiento sobre transformaciones rígidas, criterios de congruencia de triángulos y postulados y teoremas sobre rectas paralelas para demostrar muchas de las conjeturas que hicimos acerca de los lados, los ángulos y las diagonales de los paralelogramos.
1.
Usa un compás y una regla para construir un triángulo equilátero inscrito en el círculo.
Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.
2.
Todos los rectángulos son cuadrados.
3.
Los triángulos equiláteros también son triángulos isósceles.
4.
Al trasladar un pentágono, los lados correspondientes de la preimagen y de la imagen son paralelos.
5.
Las diagonales de los cuadriláteros siempre bisecan los ángulos.