Lección 2 Dilataciones de triángulos Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Supongamos que $△ R S T \sim △ A B C$ . Encuentra la longitud de lado desconocida de cada triángulo.

Focos de aprendizaje

Crear figuras semejantes con una dilatación cuando nos dan un factor de escala.

Usar dilataciones para demostrar un teorema sobre los segmentos medios de un triángulo.

¿Cómo sé si dos figuras geométricas son semejantes?

¿Cómo sé si dos figuras geométricas son semejantes por dilatación?

¿Qué características interesantes de una imagen surgen al dilatar un polígono con una dilatación centrada en uno de los vértices del polígono?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

1.

Dado el triángulo $△ A B C$ , usa el punto $M$ como el centro de una dilatación que tiene un factor de escala $3$ para ubicar los vértices de un nuevo triángulo, $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .
Ahora usa el punto $N$ como el centro de dilatación con factor de escala $\frac{1}{2}$ para ubicar los vértices de un nuevo triángulo, $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ .

2.

Marca los vértices de los dos triángulos que creaste en el diagrama de arriba. Con base en este diagrama, escribe varias ecuaciones de proporción que creas que son verdaderas. Primero, escribe tus proporciones usando los nombres de los lados de los triángulos. Después, reemplaza los nombres de los lados con sus medidas redondeadas al milímetro más cercano para comprobar que las proporciones son verdaderas. (Trata de encontrar al menos 10 proporciones que creas que son verdaderas).

Mi lista de proporciones:

3.

Con base en tu trabajo, ¿bajo qué condiciones los segmentos de recta correspondientes de una imagen y su preimagen son paralelos después de realizar una dilatación? Es decir, ¿con qué palabra se completa mejor esta afirmación?

Después de realizar una dilatación, los segmentos de recta correspondientes de una imagen y su preimagen son paralelos.

A.

nunca

B.

a veces

C.

siempre

4.

Justifica tu respuesta. Si escoges “a veces”, escribe una explicación muy clara de cómo saber cuándo los segmentos de recta correspondientes antes y después de realizar la dilatación son paralelos, y cuándo no lo son.

5.

Dado el triángulo $△ A B C$ , usa el punto $A$ como el centro de una dilatación que tiene un factor de escala $2$ para ubicar los vértices de un nuevo triángulo, $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

6.

Explica cómo se puede usar el diagrama que creaste antes para demostrar el siguiente teorema:

El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado.

¿Listo para más?

En el problema 1, el triángulo $△ A B C$ se transformó usando los dos centros de dilatación (los puntos $M$ y $N$ ) y se formaron dos nuevos triángulos. Uno era más grande que el triángulo $△ A B C$ y el otro era más pequeño. Ubica un tercer centro de dilatación para el triángulo pequeño y el triángulo grande, que se forman al realizar las dilataciones de las actividades anteriores.

a.

b.

¿Cuál es el factor de escala de esta nueva dilatación?

Aprendizajes

Relaciones clave entre una imagen y su preimagen después de realizar una dilatación:

Notación, convenciones y vocabulario

Una dilatación es una transformación del plano tal que si $O$ es el centro de la dilatación y cierto número $k$ , distinto de cero, es el factor de escala, entonces $P^{'}$ es la imagen del punto $P$ si .

Una figura de dos dimensiones es semejante a otra si

Vocabulario

segmento medio de un triángulo
teorema del segmento medio de un triángulo
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección ampliamos nuestros conocimientos sobre las figuras semejantes. Los segmentos correspondientes de las figuras semejantes son proporcionales y las dilataciones producen figuras semejantes. Por eso, al realizar una dilatación, las partes correspondientes de una imagen y su preimagen son proporcionales. También aprendimos que en una dilatación los segmentos de recta correspondientes son paralelos. Estas dos observaciones nos sirvieron como herramienta para demostrar un teorema sobre los segmentos medios de un triángulo (los segmentos que unen los puntos medios de dos lados de un triángulo).

Repaso

1.

Ángulos alternos internos
Par lineal
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos externos del mismo lado
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos externos
Ángulos complementarios
Ángulos internos del mismo lado

2.

Describe la transformación o las transformaciones usadas para llevar la preimagen a la imagen.

3.

Describe la transformación o las transformaciones usadas para llevar la preimagen a la imagen.