Lección 9 Encontremos el valor de una relación Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Encontrar las medidas desconocidas de los lados y de los ángulos de un triángulo rectángulo.

Si conocemos dos lados o dos ángulos de un triángulo rectángulo, podemos encontrar las medidas desconocidas del tercer lado o del tercer ángulo con el teorema de Pitágoras o el teorema de la suma para los triángulos. Pero ¿qué información necesitamos para encontrar las medidas desconocidas en un triángulo rectángulo ahora que ya tenemos las razones trigonométricas como herramienta para hacer cálculos?

¿Cómo usamos la trigonometría para hacer mediciones indirectas cuando el objeto geométrico no se puede medir directamente?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Parte 1: Escoge un lado

Andrea y Bonita descansan bajo su árbol favorito antes de dar un paseo por la montaña. Ambas han estado estudiando trigonometría en la escuela y ahora les parece ver triángulos rectángulos en todas partes. Por ejemplo, Andrea observa la sombra del árbol bajo el que están sentadas y se pregunta si pueden calcular la altura del árbol solo midiendo la longitud de la sombra.

Bonita cree que también necesitan saber la medida de un ángulo, así que busca en una aplicación de su teléfono y lee que, donde están, el sol tiene un ángulo de elevación de $50 °$ a esa hora del día. Mientras tanto, Andrea camina sobre la sombra del árbol para medir la longitud con sus pies y descubre que mide $40$ pies.

1.

¿Cómo pueden Andrea y Bonita usar esta información, junto con lo que saben sobre las razones trigonométricas, para calcular la altura del árbol? (Andrea y Bonita saben que pueden encontrar el valor de cualquier razón trigonométrica que necesiten para cualquier ángulo agudo con una calculadora).

Parte 2: ¿Cuál es tu ángulo?

Después del descanso, Andrea y Bonita subieron la montaña directo hacia la cima. Andrea hizo estiramientos antes de empezar, mientras que Bonita decidió arrancar de una vez. Cuando Bonita estaba a $100 pies$ de Andrea, paró a descansar y miró su dispositivo GPS. Descubrió que había caminado $100 pies$ y que su elevación había aumentado $40 pies$ . Como tenía tiempo libre, Bonita escribió las razones trigonométricas para el ángulo $∠ A$ y para el ángulo $∠ B$ .

2.

Indica las razones trigonométricas para el ángulo $∠ A$ y para el ángulo $∠ B$ que incluyen los lados dados.

Cuando Andrea llegó, dijo: “¿Y las medidas desconocidas de los ángulos? Cuando yo estaba abajo y te vi arriba, pensé en la medida del ángulo que se forma ‘hacia arriba’ desde mi posición hasta la tuya. Según tu dibujo, ese sería el ángulo $∠ A$ ”. Bonita escribió la razón trigonométrica $\sin A = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$ y preguntó: “¿Cómo encontramos el ángulo $A$ ?”.

Según las niñas, debían pensar al revés: en vez de conocer un ángulo y usar sus calculadoras para encontrar una razón trigonométrica, como en el problema de la altura del árbol, ahora conocen la razón trigonométrica y necesitan encontrar la medida desconocida del ángulo. Bonita observa el botón $\sin^{- 1} (θ)$ en su calculadora y se pregunta si funciona como un botón de “razón trigonométrica inversa” que deshace la razón y muestra solo el ángulo. Al probarlo, ella obtiene el siguiente resultado en su calculadora:

$\sin A = \frac{2}{5}$ $\sin^{- 1} (\frac{2}{5}) = 23.578$ $\sin (23.578) = 0.4$

3.

¿Cómo puede convencer este resultado a Bonita de que lo que supuso sobre la calculadora es correcto?

4.

Usa la razón trigonométrica $\cos B$ que encontraste para encontrar el valor del ángulo $∠ B$ .

5.

Observa el triángulo rectángulo. Encuentra todos los valores desconocidos:

$∠ α =$
$∠ β =$
$∠ γ =$ $90 °$
$a =$ $12 m$
$b =$ $8 m$
$c =$

6.

Bonita y Andrea hablan sobre todas las maneras de encontrar los valores desconocidos de un triángulo rectángulo y deciden hacer una lista. ¿Qué crees que debería haber en su lista? Sé específico y preciso. Por ejemplo, “las razones trigonométricas” no es específico. Usa el siguiente esquema de oración como ayuda para escribir cada elemento de tu lista:

Cuando nos dan , podemos encontrar así: .

Parte 3: Ángulo de elevación y ángulo de depresión

Durante su caminata, Andrea mencionó que miró hacia arriba para ver a Bonita. En matemáticas, cuando miras en línea recta, decimos que la recta de visión es una recta horizontal. Si miras hacia arriba, el ángulo que se forma desde la horizontal hasta tu recta de visión se llama el ángulo de elevación. Similarmente, si miras hacia abajo, el ángulo que se forma desde la horizontal hasta tu recta de visión se llama el ángulo de depresión.

7.

Después de leer esta descripción, Andrea mencionó que su ángulo de elevación para ver a Bonita medía aproximadamente $23.5 °$ . Ambas estuvieron de acuerdo. Bonita dijo que su ángulo de depresión hasta Andrea medía aproximadamente $66.5 °$ . Andrea estuvo de acuerdo en que Bonita describió un ángulo de depresión, pero dijo que el ángulo de depresión de Bonita también medía $23.5 °$ . ¿Quién crees que tiene razón? Usa dibujos y palabras para justificar tu conclusión.

8.

¿Qué conclusión puedes sacar sobre el ángulo de depresión y el ángulo de elevación? ¿Por qué?

¿Listo para más?

Si caminas de noche y te alejas de un poste de luz de $10 ft$ de altura, tu sombra se extiende. Supón que tu estatura es $5 ft$ . ¿Hay alguna posición en la que te puedas parar para que la longitud de tu sombra sea exactamente igual a tu estatura? Si después caminas el doble de lejos de la longitud del poste de luz, ¿tu sombra será el doble de larga? Usa diagramas como ayuda para pensar en esta situación.

Aprendizajes

Haz una lista de todas las maneras de encontrar valores desconocidos de triángulos rectángulos. Sé específico y preciso. Por ejemplo, “las razones trigonométricas” no es específico. Usa el siguiente esquema de oración como ayuda para escribir cada elemento de tu lista:

Cuando nos dan , podemos encontrar así: .

Identifica el ángulo de elevación y el ángulo de depresión en el siguiente diagrama: