Lección 4 Cortes con rectas transversales Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
Cada uno de los siguientes problemas busca ayudarte a identificar estrategias válidas y no válidas para reescribir fracciones. Algunos estudiantes sugirieron que las siguientes ecuaciones son verdaderas. Analiza cada problema y decide si las dos fracciones son equivalentes. (Puedes calcular decimales equivalentes a las fracciones de cada lado de la ecuación para comprobar numéricamente tus predicciones). Si decides que las fracciones no son equivalentes, ¿qué errores de razonamiento pudieron cometer los estudiantes que pensaron que sí eran equivalentes?
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Focos de aprendizaje
Demostrar que si una recta paralela a uno de los lados de un triángulo interseca los otros dos lados, entonces la recta divide los otros dos lados en proporciones iguales.
¿Qué observaciones puedo hacer sobre los segmentos que se forman en dos lados de un triángulo al dibujar una recta paralela al tercer lado?
¿Qué pasa si la recta paralela está debajo de la base?
¿Cómo puedo justificar mis observaciones algebraicamente?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
En una hoja de papel con rayas dibuja dos rectas transversales que se intersequen, como en el siguiente diagrama. Marca el punto de intersección con la letra
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¿Cómo te puedes convencer de que los dos triángulos formados por las rectas transversales y por las rectas horizontales son semejantes? (Nota: Podemos suponer que las rectas horizontales del papel con rayas son paralelas).
2.
Escribe algunas ecuaciones de proporción sobre los lados de los triángulos que dibujaste. Luego, mide los lados de los triángulos para comprobar estas ecuaciones.
3.
Escoge un tercer segmento de recta horizontal para formar un tercer triángulo que sea semejante a los otros dos. Escribe otras ecuaciones de proporción y compruébalas midiendo los distintos lados.
Con base en el siguiente diagrama, Tristan escribió esta ecuación de proporcionalidad para el problema 3:
Tia cree que la ecuación de Tristan es incorrecta porque algunos de los segmentos de la ecuación no son lados de un triángulo.
4.
Revisa la idea de Tristan usando las medidas de los segmentos de este diagrama.
5.
Ahora revisa esta misma idea usando las proporciones de los segmentos de tu propio diagrama. Ensaya al menos dos proporciones diferentes que incluyan segmentos que no tengan a
6.
Con base en tus ejemplos, ¿quién crees que tiene razón: Tristan o Tia?
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Tia todavía no está convencida de la proporción de Tristan porque está basada en un solo diagrama. Ella decide comenzar con una proporción que ya sabe que es verdadera:
Tia se da cuenta de que puede reescribir esta proporción así:
¿Puedes usar la proporción de Tia para demostrar algebraicamente que Tristan tiene razón?
¿Listo para más?
Considera el triángulo más pequeño que se forma al dibujar un segmento interior que es paralelo a uno de los lados de un triángulo. Explora la relación entre el área de ese triángulo y el área del triángulo original.
Aprendizajes
El teorema de los segmentos medios de un triángulo es un caso especial de un teorema que a veces se llama el “teorema de proporción de segmentos”.
Dado que:
Estas son algunas ecuaciones de proporción que se pueden escribir con base en el teorema de proporción de segmentos:
Vocabulario
- proporción: ecuación de proporción
- razón
- teorema de proporción de segmentos
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En una lección anterior aprendimos que un segmento medio de un triángulo (un segmento que une los puntos medios de dos de los lados) es paralelo al tercer lado del triángulo y su longitud es la mitad de la longitud del tercer lado. En esta lección extendimos este teorema al incluir otros segmentos que dividen los lados de un triángulo proporcionalmente. También demostramos un teorema poco intuitivo de “proporcionalidad de segmentos”, acerca de los segmentos que se forman cuando varias rectas paralelas a un lado de un triángulo dividen los otros dos lados del triángulo.
Encuentra todas las longitudes desconocidas de los lados de los triángulos rectángulos. Los dos triángulos son semejantes.
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La siguiente recta se puede usar para dibujar varios triángulos que sirven para encontrar la pendiente. Dibuja tres de estos triángulos de pendiente de distintos tamaños. Después, escribe la razón de cambio vertical a cambio horizontal para cada triángulo que dibujaste.
razones: