Lección 3 Sigámosle la pista a la tortuga Consolido lo que aprendí

Prepárate

Despeja $x$ .

1.

$5^{x + 1} = 5^{2 x - 3}$

2.

$7^{3 x - 2} = 7^{- 2 x + 8}$

3.

$4^{3 x} = 2^{2 x - 8}$

4.

$3^{5 x - 4} = 9^{2 x - 3}$

5.

$8^{x + 1} = 2^{2 x + 3}$

6.

$3^{x + 1} = \frac{1}{81}$

Alístate

En el cuento de hadas “Jack y las habichuelas mágicas”, Jack siembra una habichuela mágica antes de irse a dormir. En la mañana, Jack descubre que había crecido una planta gigante de habichuelas, tan alta que su tallo desaparecía en las nubes.

Pero esta es una parte de la historia que nunca has escuchado. En la bolsa en donde estaban las habichuelas mágicas estaba esta nota.

Siembra una habichuela mágica en tierra fértil justo cuando se ponga el sol.

No mires el lugar donde la sembraste durante $10 horas$ . (Esto es parte de la magia).

$1 hora$ después de sembrar la habichuela, el crecimiento de la planta se puede modelar con esta función que describe la altura:

$b (t) = 3^{t}$ ( $b$ está en $pies$ y $t$ está en $horas$ ).

Tiempo (horas)	$1$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$	$3.5$	$4$	$4.5$	$5$	$5.5$	$6$	$6.5$	$7$	$7.5$
Altura (pies)	$3$	$5.2$	$9$	$15.6$	$27$	$46.8$	$81$	$140.3$	$243$	$420.9$	$729$	$1, 262.7$	$2, 187$	$3, 788$

Jack era un buen estudiante de matemáticas, así que, aunque nunca miró el tallo de la planta durante la noche, usó la función para calcular su altura a medida que crecía. La tabla muestra los cálculos que hizo cada media hora.

Por eso, Jack no se sorprendió cuando, en la mañana, vio que la parte de arriba del tallo de la planta había desaparecido en las nubes.

7.

Demuestra cómo usó Jack el modelo $b (t) = 3^{t}$ para calcular qué tan alto sería el tallo después de que habían pasado $6 horas$ . (Puedes usar la tabla, pero usa notación de funciones para mostrar dónde irían los números en la ecuación de la función si no tuvieras la tabla).

8.

Durante esa misma noche, un vecino estaba jugando con su dron. La aeronave estaba programada para sobrevolar a una altura de $243 ft$ . ¿Durante cuántas horas había estado creciendo la planta cuando la altura del tallo de la planta era igual a la altura de vuelo del dron?

9.

¿Usaste la tabla de la misma forma para responder el problema 8 que para responder el problema 7? Explica.

10.

Mientras Jack hacía su tabla, se preguntaba qué tan alto sería el tallo de la planta una vez transcurridas las $10 horas$ mágicas. Rápidamente digitó la función en su calculadora para descubrirlo. Escribe la expresión que crees que Jack digitó en su calculadora.

11.

Los aviones comerciales vuelan a una altura en el rango de $30,000 pies$ a $36,000 pies$ . ¿Aproximadamente durante cuántas horas debe crecer la planta para que su tallo interfiera en el vuelo de los aviones comerciales? Explica cómo obtuviste tu respuesta.

12.

Usa la tabla para encontrar $b (7)$ y $b^{- 1} (11,364)$ .

13.

Usa la tabla para encontrar $b (9)$ y $b^{- 1} (9)$ .

14.

Explica por qué puedes responder algunas preguntas sobre la altura del tallo de la planta simplemente reemplazando los números en la regla de la función y por qué otras veces solo puedes usar la tabla.

15.

La tabla de Jack representa una función. ¿Es una función invertible? Justifica tu respuesta.

16.

Grafica la inversa de $f (x)$ en el mismo plano.

17.

Esta pregunta se refiere a la función $f (x)$ del problema 16. La ecuación de $f (x)$ en el intervalo $[- 2, 0]$ es $g (x) = x$ . Encuentra la ecuación de $g^{- 1} (x)$ en el intervalo $[- 2, 0]$ .

18.

Se da una tabla de valores de $f (x) = 3 - x$ en el intervalo $[- 1, 4]$ . Encuentra la ecuación de $f^{- 1} (x)$ . Justifica tu respuesta.

$f (x)$	$4$	$3$	$2$	$1$	$0$	$- 1$
$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$

¡Vamos!

Las funciones $f (x)$ , $g (x)$ y $h (x)$ están definidas así:

$f (x) = - 2 x$
$g (x) = 2 x + 5$
$h (x) = x^{2} + 3 x - 10$

Calcula los valores indicados de las funciones.

19.

$f (b^{2})$

20.

$f (g (x))$

21.

$g (b^{2})$

22.

$h (f (x))$

23.

$h (b^{2})$

24.

$h (g (x))$