Lección 5 Triángulos rectángulos especiales Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Encontrar las longitudes desconocidas de los lados de triángulos rectángulos especiales sin usar trigonometría.

¿Por qué los triángulos de $30 ° - 60 ° - 90 °$ y de $45 ° - 45 ° - 90 °$ son considerados “especiales”?

¿Por qué podemos encontrar las longitudes desconocidas de los lados de estos triángulos rectángulos sin usar trigonometría?

¿Hay otros triángulos rectángulos especiales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

El teorema de Pitágoras y la trigonometría son herramientas matemáticas útiles cuando intentamos encontrar las longitudes desconocidas de los lados de un triángulo rectángulo.

1.

¿Qué necesitas saber sobre un triángulo rectángulo para usar el teorema de Pitágoras?

2.

¿Qué necesitas saber sobre un triángulo rectángulo para usar trigonometría?

Usar el teorema de Pitágoras es fácil, solo necesitas los catetos y la hipotenusa. La trigonometría es más difícil y a menudo requiere una calculadora. Pero en ciertos triángulos rectángulos especiales podemos encontrar, sin trigonometría, todas las longitudes y ángulos si sabemos una longitud y un ángulo. Esto lo podemos hacer relacionando el triángulo con una figura conocida cuyas medidas conozcamos.

Un tipo de triángulo rectángulo especial es un triángulo de $45 ° - 45 ° - 90 °$ .

3.

Dibuja un triángulo de $45 ° - 45 ° - 90 °$ y asígnale una medida específica a uno de sus lados. (Por ejemplo, que uno de los catetos mida $8 cm$ o que la hipotenusa mida $5 pulgadas$ . Será mejor que intentes ambas opciones para perfeccionar tu estrategia). Después de asignarle una medida a uno de los lados de tu triángulo, encuentra una forma de calcular las medidas de los otros dos lados. Como parte de tu estrategia, puedes relacionar este triángulo con otra figura geométrica que te resulte más fácil de analizar.

4.

Generaliza tu estrategia. Llama $x$ a la longitud de un lado del triángulo y muestra cómo se puede representar la medida de los otros lados en términos de $x$ . (Asegúrate de considerar el caso en el que $x$ es la longitud de un cateto y el caso en el $x$ que es la longitud de la hipotenusa).

Otro tipo de triángulo rectángulo especial es un triángulo de $30 ° - 60 ° - 90 °$ .

5.

Dibuja un triángulo de $30 ° - 60 ° - 90 °$ y asígnale una medida específica a uno de sus lados. Después de asignarle una medida a uno de los lados de tu triángulo, encuentra una forma de calcular las medidas de los otros dos lados. Como parte de tu estrategia, puedes relacionar este triángulo con otra figura geométrica que te resulte más fácil de analizar.

6.

Generaliza tu estrategia. Llama $x$ a la longitud de un lado del triángulo. Muestra cómo se puede representar la medida de los otros lados en términos de $x$ . (Asegúrate de considerar el caso en el que $x$ es la longitud de un cateto y el caso en el que $x$ es la longitud de la hipotenusa).

7.

¿Se te ocurren otras medidas de ángulos que crearían un triángulo rectángulo especial?

¿Listo para más?

El astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571–1630) descubrió un triángulo rectángulo muy “especial”. El triángulo rectángulo de Kepler tiene longitudes de lado que son términos de una sucesión geométrica: $a$ , $a r$ , $a r^{2}$ , donde $a$ es la longitud del cateto más corto del triángulo rectángulo y $r$ es la “razón áurea”.

En la antigüedad, matemáticos, artistas y arquitectos sentían gran curiosidad por la razón áurea. Esta razón se obtiene al dividir un segmento de recta en dos partes, $m$ y $n$ , de modo que la razón de la parte más larga, $m$ , a la parte más corta, $n$ , sea equivalente a la razón de la longitud total del segmento de recta, $m + n$ , a la parte más larga, $m$ , es decir, $\frac{m}{n} = \frac{m + n}{m}$ .

El punto $C$ divide el segmento de recta $A B$ en una razón áurea si $\frac{m}{n} = \frac{m + n}{m}$ . Es decir, $n$ , $m$ y $n + m$ forman una sucesión geométrica: multiplicar la longitud $n$ por la razón áurea da la longitud $m$ , y multiplicar la longitud $m$ por la razón áurea nos da la longitud $m + n$ .

Si usamos $m$ y $m + n$ como las longitudes de los lados de un rectángulo, se forma un rectángulo áureo. Es un rectángulo de $m$ por $m + n$ y su área es $m^{2} + m n$ . Una característica interesante de este rectángulo es que cuando se quita el cuadrado que tiene un área $m^{2}$ , el rectángulo de $m$ por $n$ que queda también es un rectángulo áureo. Al quitar otro cuadrado de este rectángulo, queda otro rectángulo áureo, y así sucesivamente...

Kepler quedó fascinado al darse cuenta de que la razón de la hipotenusa al cateto más corto en un triángulo de Kepler también era la razón áurea.

Esta es tu tarea:

1.

Encuentra el valor exacto de la razón áurea usando la información dada anteriormente. Para simplificar, usa $n = 1$ para la parte más corta, de modo que $m = r$ , la razón áurea. (Pista: Escribe y resuelve una ecuación cuadrática que sea equivalente a la afirmación de proporcionalidad).

2.

Después de encontrar $r$ , muestra que $1$ , $r$ y $1 + r$ forman una sucesión geométrica. Si es así, entonces esas longitudes formarán un triángulo rectángulo de Kepler.

Aprendizajes

A veces no necesitamos usar trigonometría para encontrar las longitudes desconocidas de los lados de un triángulo rectángulo cuando solo conocemos los ángulos y la longitud de uno de sus lados. Los triángulos en los que esto es posible se llaman triángulos rectángulos especiales.

Indica la relación entre $x$ y los otros lados del triángulo rectángulo en los siguientes triángulos de $45 ° - 45 ° - 90 °$ :

Indica la relación entre $x$ y los otros lados del triángulo rectángulo en los siguientes triángulos de $30 ° - 60 ° - 90 °$ :

Vocabulario

triángulos rectángulos especiales
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos que hay triángulos rectángulos especiales en los que es posible encontrar las longitudes desconocidas de los lados cuando solo se conoce la longitud de un lado, ¡sin usar trigonometría! Esto sucede cuando el triángulo rectángulo se obtiene al descomponer una figura conocida, como un cuadrado o un triángulo equilátero, en dos triángulos rectángulos congruentes.

Repaso

1.

Usa el triángulo $△ B C D$ para responder los problemas. En tus respuestas, redondea los decimales a la centésima más cercana.

Dado que: $m ∠ C B A = 42 °$ y $m ∠ C D A = 35 °$ , y $A C = 22 in$

a.

Encuentra $m ∠ B C D$ , $m ∠ B C A$ y $m ∠ A C D$ .

b.

Encuentra $B C$ y $C D$ .

c.

¿ $B D$ será más largo o más corto que $B C + C D$ ? ¿Por qué?

2.

a.

Identifica el tipo de función.

b.

Escribe la ecuación de la función.