Lección 7 Justifiquemos las leyes Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

1.

¿Cómo se relacionan los tres cuadrados de este diagrama?

2.

¿Cómo se relacionan los tres cuadrados de este diagrama?

3.

Usa la ley de los senos para encontrar las longitudes desconocidas de los lados de este triángulo:

Focos de aprendizaje

Deducir la ley de los cosenos y la ley de los senos.

Cuando un triángulo no es un triángulo rectángulo, ¿qué relación hay entre las áreas de los cuadrados trazados en los tres lados del triángulo?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

El teorema de Pitágoras afirma lo siguiente con respecto a la relación entre las áreas de los tres cuadrados trazados en los lados de un triángulo rectángulo: la suma del área de los cuadrados de los dos catetos es igual al área del cuadrado de la hipotenusa. Por lo general, expresamos esta relación de forma algebraica como $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , en la que se entiende que $a$ y $b$ representan la longitud de los dos catetos del triángulo rectángulo, y $c$ representa la longitud de la hipotenusa.

¿Qué pasa entonces con los triángulos que no son triángulos rectángulos? ¿Hay alguna relación entre las áreas de los cuadrados trazados en los lados de un triángulo no rectángulo?

El diagrama muestra un triángulo acutángulo con cuadrados trazados en cada uno de sus tres lados. Se dibujaron las tres alturas del triángulo y se extendieron a través de los cuadrados de los lados del triángulo. Cada una de estas alturas divide uno de los cuadrados en dos rectángulos más pequeños.

Cuando nos referimos a los ángulos $∠ A$ , $∠ B$ o $∠ C$ , nos referimos a los ángulos del triángulo original, aunque las alturas forman otros ángulos en cada vértice. Además, el triángulo se marcó según la convención: el lado opuesto al ángulo $∠ A$ se marcó con la letra $a$ , y se hizo lo mismo con los otros lados.

1.

Encuentra una expresión que represente el área de cada uno de los seis rectángulos formados por las alturas y los cuadrados. Escribe estas expresiones dentro del rectángulo correspondiente en el diagrama. (Pista: El área de cada rectángulo se puede expresar como el producto de la longitud del lado del cuadrado y la longitud de un segmento que es un cateto de un triángulo rectángulo. Puedes usar trigonometría para expresar la longitud de este segmento).

2.

Aunque de los seis rectángulos no hay ningún par que sea congruente, sí hay tres pares de rectángulos que tienen la misma área. Colorea del mismo color el par de rectángulos que tienen la misma área. Usa los colores azul, rojo y verde para identificar cada par.

3.

El área de cada cuadrado se compone de dos áreas rectangulares más pequeñas de dos colores distintos. Para cada uno de los tres cuadrados, escribe la “ecuación” que representa su área. Por ejemplo, podrías escribir $a^{2} = azul + rojo$ si esos son los colores que elegiste para las áreas de los rectángulos en los que se divide el cuadrado cuyo lado es $a$ .

4.

Elige una de las ecuaciones del problema 3; por ejemplo, $a^{2} = azul + rojo$ , y usa los otros dos cuadrados para reemplazar cada color por la expresión que lo representa. Por ejemplo, si en tu diagrama $azul = b^{2} - verde$ y $rojo = c^{2} - verde$ , podemos escribir esta ecuación:

$a^{2} = b^{2} - verde + c^{2} - verde$ o $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot verde$ .

Escribe aquí la ecuación que te quedó al modificar la ecuación que elegiste:

5.

Como cada color realmente es una variable que representa el área de un rectángulo, reemplaza el color que te quedó en tu última ecuación por la expresión que da el área de los rectángulos de ese color.

Escribe aquí tu ecuación final:

6.

Repite los pasos de los problemas 4 y 5 para las otras dos ecuaciones que escribiste en el problema 3. Al final tendrás tres versiones distintas de la ley de los cosenos. Cada una relaciona el área de uno de los cuadrados de un lado del triángulo con las áreas de los cuadrados de los otros dos lados.

a.

$a^{2} =$

b.

$b^{2} =$

c.

$c^{2} =$

7.

¿Qué pasaría en este diagrama si el ángulo $C$ fuera un ángulo recto? (Pista: Piensa en las alturas de un triángulo rectángulo).

8.

¿Por qué tenemos que restarle una parte de área a $a^{2} + b^{2}$ para obtener $c^{2}$ cuando el ángulo $C$ es menor que un ángulo recto?

La ley de los cosenos también se puede deducir para un triángulo obtusángulo usando la altura del triángulo, que se traza desde el vértice del ángulo obtuso, como en el siguiente diagrama (en el que suponemos que el ángulo $A$ es obtuso).

9.

Usa el diagrama para deducir una de las formas de la ley de los cosenos que escribiste antes. (Pista: Al igual que en la lección anterior, “Más que triángulos rectángulos”, la longitud de la altura se puede representar de dos formas. En ambas se usa el teorema de Pitágoras y las partes del lado $a$ formadas por los catetos de dos triángulos rectángulos diferentes).

¿Listo para más?

Sea $c$ el lado más largo de un triángulo.

¿Para qué tipos de triángulos aplica cada una de estas afirmaciones?

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ Cómo se relacionan estas afirmaciones con la ley de los cosenos que dedujimos en esta lección: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$

¿Qué problemas plantean estas observaciones si $C$ es un ángulo recto o un ángulo obtuso?

Aprendizajes

Además de la ley de los senos, la ley de los cosenos se puede usar para encontrar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos de los triángulos oblicuángulos.

La ley de los cosenos se puede escribir de tres formas:

Vocabulario

ley de los cosenos
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección y en la anterior analizamos dos relaciones importantes que existen entre los lados y los ángulos de los triángulos: la ley de los cosenos y la ley de los senos. Gracias a estas relaciones podemos encontrar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos de cualquier triángulo, y no solo de los triángulos rectángulos.

Repaso

1.

Tennessee es el $16. °$ estado más grande de los Estados Unidos y tiene una población de $6,833,174$ (2019). Según los registros, la población total de EE. UU. en el 2019 era $331,814,684$ . El estado de Tennessee tiene una superficie terrestre de ${41,235 mi}^{2}$ , lo que lo convierte en el trigésimosexto en tamaño.

a.

¿Qué porcentaje de la población de los Estados Unidos vive en Tennessee?

b.

Calcula las millas cuadradas per cápita de las personas que viven en Tennessee.

2.

Encuentra el ángulo desconocido. NO uses calculadora.

a.

$\sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b.

$\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

c.

$\tan θ = \frac{\sqrt{3}}{1}$

d.

$\sin θ = \frac{1}{2}$

e.

$\cos θ = \frac{1}{2}$