Lección 1 Sombras al mediodía y al atardecer Desarrollo mi comprensión
Focos de aprendizaje
Desplazar horizontalmente las gráficas de las funciones trigonométricas.
¿Cómo puedo representar el movimiento horizontal y vertical de una persona que está en la rueda de la fortuna si su posición inicial varía? ¿Cuándo debo usar la función seno en la ecuación? ¿Cuándo debo usar la función coseno en la ecuación? ¿Esto realmente importa?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
En esta actividad, retomamos la rueda de la fortuna del parque de atracciones que le causó tanta ansiedad a Carlos. Recordemos los siguientes datos de actividades anteriores:
La rueda de la fortuna tiene un radio de
. El centro de la rueda de la fortuna está a
sobre el suelo. La rueda de la fortuna hace una rotación completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj cada
.
La rueda de la fortuna del parque de atracciones está ubicada junto a un edificio alto. Al atardecer, las cabinas en movimiento proyectan una sombra en la parte exterior de la pared del edificio. A medida que la rueda de la fortuna gira, se puede observar que la sombra de una persona que está en la rueda sube y baja sobre la superficie del edificio. De hecho, conoces una ecuación que describiría el movimiento de esta “sombra al atardecer”.
1.
Escribe la ecuación de esta “sombra al atardecer”.
A mediodía, cuando el sol está directamente por encima de la cabeza, una persona que va en la rueda proyecta una sombra que se mueve de izquierda a derecha a lo largo del suelo mientras la rueda de la fortuna gira. De hecho, conoces una ecuación que describiría el movimiento de esta “sombra al mediodía”.
2.
Escribe la ecuación de esta “sombra al mediodía”.
3.
Con base en tu trabajo anterior, probablemente escribiste estas ecuaciones en términos del ángulo de rotación medido en grados. Ajusta tus ecuaciones para que el ángulo de rotación se mida en radianes.
a.
Ecuación de la “sombra al atardecer” en términos de radianes:
b.
Ecuación de la "sombra al mediodía" en términos de radianes:
4.
Para las ecuaciones que escribiste en el problema 3, ¿en qué posición de la rueda de la fortuna se encontraba la persona en el tiempo
5.
Ajusta tus ecuaciones del problema 3 para que en
a.
Ecuación de la “sombra al atardecer” cuando la posición inicial es la parte superior de la rueda:
b.
Ecuación de la “sombra al mediodía” cuando la posición inicial es la parte superior de la rueda:
Haz una pausa y reflexiona
6.
Ajusta tus ecuaciones del problema 3 para que en
a.
Ecuación de la “sombra al atardecer” cuando la posición inicial es la parte inferior de la rueda:
b.
Ecuación de la “sombra al mediodía” cuando la posición inicial es la parte inferior de la rueda:
7.
Ajusta tus ecuaciones del problema 3 para que en
a.
Ecuación de la “sombra al atardecer” cuando la posición inicial es el punto que está más a la izquierda de la rueda:
b.
Ecuación de la “sombra al mediodía” cuando la posición inicial es el punto que está más a la izquierda de la rueda:
8.
Ajusta tus ecuaciones del problema 3 para que en
a.
Ecuación de la “sombra al atardecer” cuando la posición inicial está en el medio entre el punto que está más a la derecha en la rueda y la parte superior de la rueda:
b.
Ecuación de la “sombra al mediodía” cuando la posición inicial está en el medio entre el punto que está más a la derecha de la rueda y la parte superior de la rueda:
9.
Ajusta tus ecuaciones del problema 3 para que la rueda gire el doble de rápido.
a.
Ecuación de la “sombra al atardecer” para la rueda que gira el doble de rápido:
b.
Ecuación de la “sombra al mediodía” para la rueda que gira el doble de rápido:
10.
Ajusta tus ecuaciones del problema 3 para que el radio de la rueda sea el doble y el centro de la rueda esté al doble de altura.
a.
Ecuación de la “sombra al atardecer” para un radio el doble de largo y el centro al doble de altura:
b.
Ecuación de la “sombra al mediodía” para un radio el doble de largo y el centro al doble de altura:
11.
Carlos escribió la siguiente ecuación de la “sombra al atardecer” para representar la altura a la que está la persona del problema 5:
Clarita escribió la siguiente ecuación para el mismo problema:
a.
¿Ambas ecuaciones son equivalentes? ¿Cómo lo sabes?
b.
Carlos dice que su ecuación representa que la posición inicial de la persona es la parte superior de la rueda. ¿Qué representa la ecuación de Clarita?
¿Listo para más?
¿Cómo cambian las gráficas de las ecuaciones de la forma
Aprendizajes
El desplazamiento horizontal, o desplazamiento de fase, de una función trigonométrica puede representarse de las siguientes dos formas:
Forma 1:
Forma 2:
La forma 2 muestra
En términos del movimiento circular de la rueda de la fortuna:
La forma 1 es más fácil de escribir si nos enfocamos en
La forma 2 es más fácil de escribir si nos enfocamos en
Vocabulario
- desplazamiento de fase
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección analizamos el desplazamiento horizontal de una función trigonométrica, que también se conoce como desplazamiento de fase. Diferentes formas de la ecuación que representan el desplazamiento horizontal llevaron a dos interpretaciones diferentes en el contexto de la rueda de la fortuna: desplazar la posición de la persona en la rueda en el tiempo
1.
a.
Dibuja la inversa de la función en el mismo plano. Incluye la recta
b.
¿La función es par, impar o ninguna? Recuerda que una función par es simétrica con respecto al eje
A.
par
B.
impar
C.
ninguna
c.
¿La inversa de la función es par, impar o ninguna?
A.
par
B.
impar
C.
ninguna
2.
Menciona dos ángulos de rotación para