Lección 10 Planos complejos y polares Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Representar números complejos usando coordenadas polares.

Multiplicar números complejos que están escritos en forma polar.

En el plano, hemos ubicado números complejos de la forma $a + b i$ como puntos $(a, b)$ . Usamos el eje horizontal para representar la componente real del número complejo y el eje vertical para representar la componente imaginaria. ¿Podemos usar las coordenadas polares $r$ y $θ$ para representar números complejos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Alyce, Javier y Verónica tienen dos maneras distintas de escribir la ubicación de los objetos en la excavación arqueológica: una manera es usar coordenadas rectangulares $(x, y)$ y la otra es usar coordenadas polares $(r, θ)$ . Los tres amigos saben mucho acerca de ubicar puntos y graficar funciones en una cuadrícula de coordenadas rectangulares y se preguntan si pueden dibujar gráficas en una cuadricula de coordenadas polares. Encontraron papel con cuadrícula polar en los materiales arqueológicos y están tratando de entenderla. Aprendieron que los ángulos se miden con el lado inicial apuntando horizontalmente hacia la derecha (el lado positivo del eje horizontal) y que los ángulos positivos se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Javier piensa que la ubicación del punto marcado en el papel con cuadrícula polar está dado por las coordenadas polares $(6, 120 °)$ .

Alyce piensa que la ubicación del punto es $(6, - 240 °)$ .

Verónica piensa que la ubicación del punto es $(- 6, 300 °)$ .

1.

¿Qué piensas? ¿Quién dio la ubicación del punto correctamente? Explica por qué.

2.

¿Cuáles son las coordenadas rectangulares del punto marcado?

Alyce y Verónica recuerdan que aprendieron a representar números complejos como puntos o vectores en un plano complejo, en el cual el eje $x$ representa la componente real del número complejo y el eje $y$ representa la componente imaginaria. Se preguntan si los números complejos pueden estar relacionados con el trabajo que hizo Javier en el papel con cuadrícula polar. En internet, aprendieron que los números complejos se pueden expresar en forma polar y que mucho de la aritmética de números complejos se puede facilitar y mejorar cuando los números complejos se escriben en forma polar. Alyce y Verónica usan los siguientes problemas para presentarle a Javier sus ideas claves.

3.

El punto $(2, 5)$ se puede ubicar en una cuadrícula de coordenadas rectangulares. Encuentra las coordenadas polares del mismo punto. (Redondea la medida del ángulo a la décima de grado más cercana).

4.

En el plano complejo, el punto $(2, 5)$ representa el número complejo $2 + 5 i$ . En general, cualquier punto $(a, b)$ representa un número complejo $a + b i$ correspondiente. ¿Cómo se representan la distancia horizontal $a$ y la distancia vertical $b$ en forma polar? Es decir, ¿cómo podemos usar $r$ y $θ$ para describir el número complejo $a + b i$ ?

La aritmética de números complejos en términos de coordenadas polares

La multiplicación de números complejos:

Alyce y Verónica aprendieron que cuando los números complejos se escriben en forma compleja, $r \cdot \cos θ + i \cdot r \cdot \sin θ$ , el producto de dos números complejos es fácil de encontrar.

“Solo multiplicas los valores de $r$ y sumas los valores de $θ$ ”, dice Véronica con emoción.

Javier escribe en símbolos lo que Verónica dijo:

$Si a_{1} + b_{1} i = r_{1} \cos θ_{1} + i r_{1} \sin θ_{1}$ $y$ $a_{2} + b_{2} i = r_{2} \cos θ_{2} + i r_{2} \sin θ_{2}$ ,

$\begin{aligned} entonces (a_{1} + b_{1} i) (a_{2} + b_{2} i) & = (r_{1} \cos θ_{1} + i r_{1} \sin θ_{1}) (r_{2} \cos θ_{2} + i r_{2} \sin θ_{2}) \\ = (r_{1} \cdot r_{2}) \cos (θ_{1} + θ_{2}) + i (r_{1} \cdot r_{2}) \sin (θ_{1} + θ_{2}) \\ = a_{3} + b_{3} i \end{aligned}$

Javier no entiende cómo puede ser verdadero lo que Verónica dijo; es decir,

$(r_{1} \cos θ_{1} + i r_{1} \sin θ_{1}) (r_{2} \cos θ_{2} + i r_{2} \sin θ_{2}) = (r_{1} \cdot r_{2}) \cos (θ_{1} + θ_{2}) + i (r_{1} \cdot r_{2}) \sin (θ_{1} + θ_{2}) .$

Por eso, él decide probar la regla de Verónica con un ejemplo específico.

5.

La comprobación de Javier:

a.

Escoge dos números complejos escritos de la forma $a + b i$ y multiplícalos algebraicamente entre sí, como lo haces normalmente.

b.

Reescribe ambos números complejos en forma polar.

c.

Multiplica las formas polares de los dos números complejos entre sí usando la regla de Verónica.

d.

Convierte el producto de forma polar a la forma $a + b i$ .

e.

¿Usando la regla de Verónica obtuviste el mismo resultado que en la parte a?

Javier está más convencido, pero le gustaría alguna demostración de que la regla de Verónica funciona todo el tiempo, y no solamente para los pocos ejemplos que él ensayó. Verónica dice: “Según recuerdo, tienes que usar las identidades de suma y diferencia del seno y coseno para demostrarlo”. Javier decide que intentará demostrar la regla de Verónica.

6.

La demostración de Javier:

a.

Multiplica $(r_{1} \cos θ_{1} + i r_{1} \sin θ_{1}) (r_{2} \cos θ_{2} + i r_{2} \sin θ_{2})$ como el producto de dos binomios.

b.

Reescribe los resultados usando las identidades de suma y diferencia del seno y coseno que escribiste en la actividad .

c.

Manipula tu expresión final hasta que corresponda con lo que dijo Verónica.

Potencias y raíces de números complejos:

Javier tiene una idea nueva mientras piensa acerca de la regla de Verónica para multiplicar números complejos en forma polar. “Como elevar algo a la potencia $n$ -ésima es una multiplicación repetida, podemos escribir una regla para encontrar las potencias de un número complejo escritas en forma polar, lo que será mucho más fácil que multiplicar ${(a + b i)}^{n}$ . ¡Genial!”.

7.

Completa la regla de Javier para ${(a + b i)}^{n} = (r \cdot \cos {θ + i \cdot r \sin θ)}^{n} =$

Javier se pregunta qué le ocurre a los números complejos a medida que se elevan a potencias que son cada vez más grandes. Él empieza con el número complejo $1 + \sqrt{3} i = 2 \cos 60 + 2 i \sin 60$ .

8.

Usa la regla de Javier para elevar $1 + \sqrt{3} i$ a las siguientes potencias. Primero, escribe este número complejo en su forma polar, $2 \cos 60 + 2 i \sin 60$ . Después, convierte el número complejo que se obtiene en forma polar a la forma $a + b i$ :

a.

${(1 + \sqrt{3} i)}^{1} =$

b.

${(1 + \sqrt{3} i)}^{2} =$

c.

${(1 + \sqrt{3} i)}^{3} =$

d.

${(1 + \sqrt{3} i)}^{4} =$

e.

${(1 + \sqrt{3} i)}^{5} =$

f.

${(1 + \sqrt{3} i)}^{6} =$

9.

Ubica en el siguiente plano complejo cada uno de los números complejos anteriores. Es decir, usa el eje horizontal como un eje de números reales y el eje vertical como un eje de números imaginarios. Un número complejo $a + b i$ se grafica como un vector que va del origen al punto $(a, b)$ . ¿Cómo se muestra en el diagrama lo que ya sabes sobre el crecimiento exponencial? ¿Y en la forma polar de las potencias?

10.

A Javier le sorprendió ver que ${(1 + \sqrt{3} i)}^{3} = - 8$ y ${(1 + \sqrt{3} i)}^{6} = 64$ . Él sabe que ${(- 2)}^{3} = - 8$ y $2^{6} = 64$ , porque $\sqrt[3]{- 8} = - 2$ y $\sqrt[6]{64} = 2$ , y ahora él ha encontrado números complejos que parecen comportarse de la misma forma.

a.

Si ${(1 + \sqrt{3} i)}^{3} = - 8$ , ¿qué podemos decir de $1 + \sqrt{3} i$ ?

b.

Si ${(1 + \sqrt{3} i)}^{6} = 64$ , ¿qué podemos decir de $1 + \sqrt{3} i$ ?

Javier decidió hacer algunas de sus búsquedas en internet para ver si puede encontrar más información acerca de las raíces complejas de números reales. Estos son algunos de los resultados de su búsqueda:

Idea #1: Si $x^{n} = a$ , esperamos encontrar $n$ raíces reales o complejas de $a$ , porque el teorema fundamental del álgebra dice que la ecuación polinomial

$x^{n} - a = 0$ tendrá $n$ soluciones en los números complejos.

Idea #2: Los módulos, o magnitudes de los vectores que representan las raíces, son todos iguales.

Idea #3: Las $n$ raíces están a $\frac{360 °}{n}$ de distancia.

11.

A partir de estas ideas, grafica las raíces cúbicas de $- 8$ en el plano complejo.

¿Cuáles son las tres raíces cúbicas de $- 8$ ?

12.

A partir de estas ideas, grafica las raíces sextas de $64$ en el plano complejo.

¿Cuáles son las seis raíces sextas de $64$ ?

¿Listo para más?

En el sistema de los números reales $\sqrt{- 4}$ no está definida. Sin embargo, en el sistema de los números complejos, la ecuación $x^{2} = - 4$ tiene dos soluciones. Encuentra las dos raíces cuadradas de $- 4$ de dos maneras diferentes:

1.

Encontrando los valores que son soluciones complejas de la ecuación $x^{2} = - 4$ .

2.

Usando el método descrito en los problemas del 10 al 12.

3.

Comprueba que con estos dos métodos se obtienen los mismos resultados.

Aprendizajes

El número complejo $a + b i$ se puede escribir en forma polar como:

La forma polar de los números complejos facilita los cálculos usando las siguientes reglas:

Multiplicación:

Elevar a la potencia $n$ -ésima:

Encontrar todos las raíces $n$ -ésimas:

Vocabulario

coordenadas polares
módulo
sistema de coordenadas rectangulares
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos cómo escribir números complejos en forma polar. Usamos la forma polar para multiplicar y dividir números complejos y para elevar números complejos a potencias. También aprendimos que todo número complejo tiene raíces n-ésimas que son fáciles de encontrar en forma polar.

Repaso

1.

Aplica la regla $(x, y) \to (x - 7, y - 4)$ al punto $A$ y marca el punto que obtienes como $A^{'}$ .

2.

Usa la definición de $\log x$ para encontrar los valores de $x$ . Recuerda que $\log x$ tiene base $10$ . (No uses calculadora).

a.

$\log x = - 1$

b.

$\log 10^{P} = x$