Lección 2 Marea alta Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

1.

Encuentra la medida del ángulo $θ$ en el siguiente diagrama. Usa ecuaciones para explicar cómo lo encontraste.

2.

Encuentra la medida del ángulo $θ$ en el diagrama dado. Usa ecuaciones para explicar cómo lo encontraste.

Focos de aprendizaje

Utilizar funciones trigonométricas para modelar contextos con comportamientos periódicos que no involucran movimiento circular.

Solucionar ecuaciones trigonométricas.

La relación entre la duración de luz solar como función del día del año, el periodo de vibración de una cuerda como función de la longitud de la cuerda en un instrumento musical, o aún la altura del agua en un lago como función de la hora del día son otros tipos de comportamiento periódico. ¿Cómo podemos escribir funciones para representarlos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Para prepararse para la feria de ciencia, tu grupo planea hacer una excursión escolar a la playa y realizar experimentos. Deben instalar equipo de laboratorio en un lugar que a veces está cubierto por la marea y a veces está expuesto al sol. Quieres saber cuándo quitar el equipo antes de que lo arrastre la marea. Descubriste que el nivel del agua en la playa está dado por la siguiente ecuación:

$f (t) = 20 \sin (\frac{π}{6} t)$ .

En esta ecuación, $f (t)$ representa qué tan lejos está el nivel del agua por encima o por debajo de su posición promedio. La distancia se mide en pies y $t$ es el tiempo transcurrido (en horas) a partir de la medianoche.

1.

¿Cuál es la altura máxima (comparada con su posición promedio) que el nivel del agua alcanzará en la playa durante el día? (Esto se llama marea alta). ¿Cuál es la altura mínima del nivel del agua durante el día? (Esto se llama marea baja).

2.

Supón que planeas instalar el equipo de laboratorio a la altura del nivel promedio del agua justo cuando el agua está por debajo de ese nivel. ¿Cuánto tiempo tendrás para realizar experimentos antes de que necesites quitar el equipo porque viene la marea?

3.

Supón que quieres ubicar el equipo de laboratorio $10$ pies por debajo del nivel promedio del agua para aprovechar la arena húmeda. ¿Cuál es la mayor cantidad de tiempo que tendrás antes de que tengas que quitar el equipo? ¿Cómo puedes convencer a tu grupo de que tu respuesta es correcta?

4.

Supón que decides ubicar el equipo de laboratorio $15$ pies por encima del nivel promedio del agua para tener más tiempo para realizar tu trabajo. ¿Cuánto es el tiempo máximo que tendrás para realizar tus experimentos? ¿Cómo puedes convencer a tu grupo de que tu respuesta es correcta?

5.

Puede que hayas resuelto los anteriores problemas usando una gráfica de la función que modela la altura de la marea. ¿Hay alguna manera de que puedas usar álgebra y la función inversa del seno para resolver estos problemas? Si así es, muestra lo que hiciste.

a.

Tu trabajo con álgebra para el problema 3:

b.

Tu trabajo con álgebra para el problema 4:

6.

Supón que tu grupo decide que solo necesita dos horas para realizar experimentos. ¿Cuál es el punto más bajo de la playa en el que puedes ubicar el equipo de laboratorio? ¿Cómo puedes convencer a tu grupo de que tu respuesta es correcta?

¿Listo para más?

Consulta datos sobre la temperatura diaria promedio o las horas de luz durante el día entre el amanecer y el atardecer como funciones del día del año en el lugar en el que vives. ¿Estas relaciones son periódicas? Si es así, escribe ecuaciones para modelar la temperatura diaria o la cantidad promedio de luz solar en tu zona.

Aprendizajes

Para solucionar ecuaciones trigonométricas se necesita:

Las funciones trigonométricas se pueden usar para modelar comportamiento periódico, como en:

Para resolver problemas usando funciones trigonométricas inversas para encontrar tiempos específicos en ciertos contextos, se puede necesitar:

Resumen de la lección

En esta lección usamos las funciones trigonométricas para modelar un contexto que involucraba comportamiento periódico pero no movimiento circular. Usamos gráficas y el círculo unitario para interpretar el significado de los valores que se obtienen al despejar el tiempo en la ecuación, usando funciones trigonométricas inversas.

Repaso

1.

Recuerda que la definición de la razón tangente en el triángulo rectángulo es: $\tan A = \frac{longitud del lado opuesto al \overset{´}{a} ngulo A}{longitud del lado adyacente al \overset{´}{a} ngulo A}$ .

Despeja $y$ . Después encuentra $\tan A$ y $\tan B$ .

$y =$

$\tan A =$

$\tan B =$

2.

Usa las soluciones que se dan de una función cuadrática y la intersección con el eje $y$ para encontrar la ecuación original.

$x = - 4 \pm 3 i$ , intersección con el eje $y$ : $(0, 75)$