Lección 8 La increíble carrera de las funciones trigonométricas inversas Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Definir la función seno inverso, la función coseno inverso y la función tangente inversa.

¿Cuáles son las definiciones formales de la función seno inverso, de la función coseno inverso y de la función tangente inversa?

¿Por qué $\sin^{- 1} (\sin θ)$ no siempre es igual a $θ$ ?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Para entretenerse los fines de semana en la excavación arqueológica, Javier inventó un juego que se llama “Encuentra mi vara”. El juego se trata de escoger dos tarjetas, una de una baraja de cartas que Javier llama tarjetas de “descripción del ángulo” y la otra de una baraja que él llama las tarjetas de “ubicación”. A partir de estas dos pistas, Verónica y Alyce compiten para ubicar la posición de la vara. La persona que encuentre primero la ubicación correcta gana un premio. Alyce se pregunta por qué necesitan dos pistas, mientras que Verónica se pregunta si dos pistas siempre serán suficientes.

Juega con un compañero el juego de Javier unas cuantas veces usando las dos barajas de cartas que tu profesor te dará. Uno de ustedes tomará una “Tarjeta de descripción del ángulo”, mientras que el otro tomará una “Tarjeta de ubicación”. Trata de determinar la ubicación exacta de la vara que se describe en las dos pistas dadas en las tarjetas. Observa que las “Tarjetas de descripción del ángulo” no especifican un ángulo directamente. En lugar de esto, dan información acerca del ángulo que se especifica, como una afirmación sobre la función trigonométrica inversa o una ecuación para solucionar. Las tarjetas de “Ubicación” dan información adicional para ayudarte a ubicar la vara, como las que dan la coordenada $x$ o la coordenada $y$ de la vara (pero no ambas), o $r$ , la distancia desde la torre central, o quizás indicando el cuadrante en el que la vara está ubicada.

La zona arqueológica se traza usando un sistema de cuadrícula rectangular y un sistema de cuadrícula circular. En el sistema de cuadrícula rectangular, el eje horizontal representa distancias al este y oeste de la torre central, y los ejes verticales representan distancias al norte y sur de la torre central, igual que en un mapa convencional. En el sistema de cuadrícula circular, los círculos concéntricos están alrededor de la torre central a intervalos igualmente espaciados. Javier les ha dado un mapa de cuadrícula rectangular y un mapa de cuadrícula circular de la zona arqueológica a Verónica y Alyce para que lo usen mientras juegan. De la misma manera, tu profesor te dará ambos tipos de cuadrículas a medida que avanzas en el juego.

Reglas el juego

Juega con tu compañero el juego por lo menos tres veces como se describió anteriormente. Cada vez que juegues, haz lo siguiente:

Anota las dos pistas que tomaste, una de cada baraja.
Muestra todo lo que haces en el intento de ubicar la vara, incluyendo los cálculos.
Escoge una cuadrícula rectangular o una cuadrícula circular en la que puedas anotar la ubicación de la vara. Si no puedes ubicar la vara con exactitud, muestra todas las ubicaciones posibles de la vara en la cuadrícula. Si las pistas dan información contradictoria, indica que una ubicación es imposible de determinar.
Si es posible, determina la ubicación de la vara tanto en la cuadrícula rectangular como en la cuadrícula circular.

1.

Recuerda que Verónica se preguntaba si dos pistas serían suficientes para ubicar la vara. Después de jugar algunas veces, ¿qué piensas al respecto?

Análisis el juego

Analiza las pistas que te dieron en las dos barajas de cartas y después haz lo siguiente:

Escoge un par de tarjetas que juntas indiquen una ubicación específica de la vara. Anota las pistas de las tarjetas y explica por qué estas indican una única ubicación.
Escoge otro par de tarjetas que sugieran que la vara se puede ubicar en más de una ubicación. Anota las pistas de las tarjetas y explica por qué la ubicación de la vara no se especifica de manera única.
Escoge un tercer par de tarjetas que dan información contradictoria. Anota las pistas de las tarjetas y explica el problema.

Repite estos pasos varias veces hasta que puedas responder la pregunta del problema 2.

2.

En general, ¿qué tipos de combinaciones de pistas determinan una ubicación única?

Explicación del juego

Para cada una de las “Tarjetas de descripción del ángulo” tenías que responder la pregunta: “¿A qué ángulo podría corresponderle esta información?”. Quizás pensaste en el círculo unitario o usaste una calculadora para responderla. Para los ángulos de rotación hay muchas respuestas a esta pregunta. Por lo tanto, esta pregunta, en sí misma, no define una función trigonométrica inversa.

Supón que tomaste esta pista de la baraja de “Tarjetas de descripción del ángulo”:

$\sin θ = 0.75$

Usando tu calculadora, $\sin^{- 1} (0.75) = 0.848$ radianes. Sin embargo, la siguiente gráfica indica otros valores de $θ$ para los que $\sin θ = 0.75$ .

3.

Sin trazar la gráfica ni usar cualquier otra herramienta de análisis de la calculadora, usa el hecho de que $\sin^{- 1} (0.75) = 0.848$ radianes para encontrar por lo menos otros tres ángulos $θ$ para los que $\sin θ = 0.75$ . (Cada uno de estos puntos aparece como un punto de intersección entre la curva del seno y la recta $y = 0.75$ en la gráfica dada).

4.

Tu calculadora se ha programado para usar la siguiente definición de la función seno inverso. Así, cada vez que encontramos $\sin^{- 1}$ de un número, obtendremos un valor único.

La función seno inverso, $y = \sin^{- 1} x$ , se define así: “ $y = \sin^{- 1} x$ es el ángulo $y$ en el intervalo $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$ tal que $\sin y = x$ ”.

a.

A partir de la gráfica de la función seno, explica por qué definir de esta manera la función seno inverso garantiza que habrá una salida única.

b.

A partir de esta definición, ¿cuál es el dominio de la función seno inverso?

c.

A partir de esta definición, ¿cuál es el rango de la función seno inverso?

d.

Grafica la función seno inverso.

5.

Supón que tomaste esta pista de la baraja de “Tarjetas de descripción del ángulo”: $\sin θ = - \frac{1}{2}$ . ¿Cuál es la respuesta exacta de esta expresión de seno inverso: $\sin^{- 1} (- \frac{1}{2})$ ?

6.

Analiza las gráficas de las funciones coseno y tangente dadas. ¿Cómo restringirías los dominios de estas funciones trigonométricas para que se puedan definir las funciones coseno inverso y tangente inversa?

Completa las definiciones de las funciones coseno inverso y tangente inversa. Indica el dominio y rango de cada función, y dibuja su gráfica.

a.

Definición de la función coseno inverso:

Dominio:

Rango:

b.

Definición de la función tangente inversa:

Dominio:

Rango:

¿Listo para más?

En la sección “¿Listo para más?” de una lección anterior conociste las funciones secante y cosecante. La función secante es la recíproca del coseno, $\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$ , y la función cosecante es la recíproca de la función seno, $\csc θ = \frac{1}{\sin θ}$ .

Estas son las gráficas de estas funciones:

$f (x) = \sec x$

$g (x) = \csc x$

¿Cómo definirías las funciones secante inversa y cosecante inversa?

Escoge un intervalo restringido para cada función. Después, grafica la función inversa y escribe su dominio y rango.

1.

Secante inversa:

Dominio:

Rango:

2.

Cosecante inversa:

Dominio:

Rango:

Aprendizajes

Definición de la función seno inverso:

Dominio:

Rango:

Definición de la función coseno inverso:

Dominio:

Rango:

Definición de la función tangente inversa:

Dominio:

Rango:

Vocabulario

dominio restringido
función coseno inverso
función seno inverso
función tangente inversa
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección definimos las funciones seno inverso, coseno inverso y tangente inversa. Para hacerlo, primero restringimos los dominios de las funciones seno, coseno y tangente a un intervalo en el que la función inversa se podía definir. Estos dominios restringidos se vuelven el rango de las funciones trigonométricas inversas. Saber cómo están definidas las funciones trigonométricas inversas ayuda a interpretar el resultado que aparece en una calculadora cuando se usa para solucionar ecuaciones trigonométricas.

Repaso

1.

a.

Grafica el punto $A$ $(- 11, - 25)$ .

b.

Encuentra la distancia del origen, $(0, 0)$ , al punto $A$ .

2.

Grafica $- 4 + 2 i$ en el plano complejo. Usa coordenadas rectangulares.