Lección 4 Salirse por la tangente Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

Encuentra el seno y el coseno de los ángulos de rotación $θ$ y $β$ que se muestran en el diagrama.

Focos de aprendizaje

Definir e identificar características clave de la gráfica de la tangente.

Hemos extendido la definición del seno y coseno para que se ajuste a ángulos de rotación. ¿Cómo extendemos la definición de la función tangente?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Recuerda que la definición de la razón tangente en el triángulo rectángulo es:

$\tan (A) = \frac{longitud del lado opuesto al \overset{´}{a} ngulo A}{longitud del lado adyacente al \overset{´}{a} ngulo A}$ .

1.

Ajusta esta definición para encontrar la tangente de cualquier ángulo de rotación dibujado en posición estándar, dado en radianes o grados, en cualquier círculo de radio $r$ . Explica por qué tu definición es razonable.

2.

Ajusta esta definición para encontrar la tangente de cualquier ángulo de rotación dibujado en posición estándar en el círculo unitario ( $r = 1$ ). Explica por qué tu definición es razonable.

Hemos observado que en el círculo unitario los valores de seno y coseno se pueden representar con la longitud de un segmento de recta.

3.

En el siguiente diagrama, para el ángulo $θ$ dado, indica cuál longitud de segmento representa el valor de $\sin (θ)$ y cuál representa el valor de $\cos (θ)$ .

a.

En el siguiente diagrama, para el ángulo $θ$ dado, indica cuál longitud de segmento representa el valor de $\sin (θ)$ y cuál representa el valor de $\cos (θ)$ .

b.

En el círculo unitario también hay un segmento de recta cuya longitud es igual a $\tan (θ)$ . Considera la longitud del segmento $\overset{―}{D E}$ en el diagrama del siguiente círculo unitario. Observa que los triángulos $△ A D E$ y $△ A B C$ son triángulos rectángulos. Escribe un argumento convincente sobre por qué la longitud del segmento $D E$ es equivalente al valor de $\tan (θ)$ para el ángulo $θ$ dado.

4.

En los ejes de coordenadas, dibuja la gráfica de $y = \tan (θ)$ . Para esto, considera la longitud del segmento $D E$ a medida que $θ$ rota de $0$ radianes a $2 π$ radianes. Explica cualquier característica interesante que observes en tu gráfica.

Extiende tu gráfica de $y = \tan (θ)$ . Ahora considera la longitud del segmento $D E$ a medida que $θ$ rota de $0$ radianes a $- 2 π$ radianes.

Haz una pausa y reflexiona

5.

Usa un diagrama de círculo unitario para determinar los valores exactos de las siguientes expresiones trigonométricas:

a.

$\tan (\frac{π}{6}) =$

b.

$\tan (\frac{5 π}{6}) =$

c.

$\tan (\frac{7 π}{6}) =$

d.

$\tan (\frac{π}{4}) =$

e.

$\tan (\frac{3 π}{4}) =$

f.

$\tan (\frac{11 π}{6}) =$

g.

$\tan (\frac{π}{2}) =$

h.

$\tan (π) =$

i.

$\tan (\frac{7 π}{3}) =$

Las funciones a menudo se clasifican teniendo en cuenta las siguientes definiciones:

• Una función $f (x)$ se clasifica como una función impar si $f (- x) = - f (x)$ .

• Una función $f (x)$ se clasifica como una función par si $f (- x) = f (x)$ .

6.

Teniendo en cuenta estas definiciones y lo que has hecho en esta unidad, decide cómo clasificar cada una de las siguientes funciones trigonométricas.

a.

La función $y = \sin (x)$ se clasificaría como una función [impar, par o ninguna]. Justifica tu respuesta con evidencias.

b.

La función $y = \cos (x)$ se clasificaría como una función [impar, par o ninguna]. Justifica tu respuesta con evidencias.

c.

La función $y = \tan (x)$ se clasificaría como una función [impar, par o ninguna]. Justifica tu respuesta con evidencias.

Haz una pausa y reflexiona

¿Listo para más?

Cuando definimos las razones trigonométricas de triángulos rectángulos, nombramos algunas razones posibles entre los lados: la razón seno, definida como el cociente de la longitud del lado opuesto al ángulo agudo a la longitud de la hipotenusa; la razón coseno, definida como el cociente de la longitud del lado adyacente al ángulo agudo a la longitud de la hipotenusa; y la razón tangente, definida como el cociente de la longitud del lado opuesto al ángulo agudo a la longitud del lado adyacente al ángulo agudo.

A veces es útil pensar en las recíprocas de estas razones, lo que lleva a considerar otras tres razones trigonométricas: secante, cosecante y cotangente, que se definen a continuación.

La razón secante: $\sec (A) = \frac{longitud de la hipotenusa}{longitud del lado adyacente al \overset{´}{a} ngulo A}$

La razón cosecante: $\csc (A) = \frac{longitud de la hipotenusa}{longitud del lado opuesto al \overset{´}{a} ngulo A}$

La razón cotangente: $\cot (A) = \frac{longitud del lado adyacente al \overset{´}{a} ngulo A}{longitud del lado opuesto al \overset{´}{a} ngulo A}$

1.

Completa las siguientes afirmaciones:

a.

La razón es la recíproca de la razón seno.

b.

La razón es la recíproca de la razón coseno.

c.

La razón es la recíproca de la razón tangente.

d.

$\frac{1}{\cos θ} =$

$\frac{1}{\sin θ} =$

$\frac{1}{\tan θ} =$

e.

$\frac{1}{\cot θ} =$

$\frac{1}{\sec θ} =$

$\frac{1}{\csc θ} =$

También hay segmentos de recta que se pueden definir en el círculo unitario de manera que sus longitudes representan el valor de $\sec (θ)$ , $\csc (θ)$ o $\cot (θ)$ . Estos segmentos de recta se pueden usar para ayudarnos a visualizar las gráficas de las funciones trigonométricas recíprocas. Considera las longitudes de $\overset{―}{A E}$ , $\overset{―}{A G}$ y $\overset{―}{F G}$ en el diagrama del círculo unitario que se da.

Observa que los triángulos $△ A D E$ y $△ A F G$ son triángulos rectángulos, y $∠ F G A ≅ ∠ D A G$ porque son ángulos alternos internos formados por las rectas paralelas $\overset{\leftrightarrow}{F G}$ y $\overset{\leftrightarrow}{A D}$ cortadas por la transversal $\overset{\leftrightarrow}{A G}$ .

2.

¿Cuál segmento tiene una longitud igual a $\sec (θ)$ ? Explica cómo lo sabes.

3.

¿Cuál segmento tiene una longitud igual a $\csc (θ)$ ? Explica cómo lo sabes.

4.

¿Cuál segmento tiene una longitud igual a $\cot (θ)$ ? Explica cómo lo sabes.

5.

En los ejes de coordenadas, dibuja la gráfica de $y = \sec (θ)$ . Para esto, considera la longitud de su segmento correspondiente en el diagrama del círculo unitario anterior a medida que $θ$ rota de $0$ radianes a $2 π$ radianes y de $0$ radianes a $- 2 π$ radianes. Explica cualquier característica interesante que observes en tu gráfica.

6.

En los ejes de coordenadas, dibuja la gráfica de $y = \csc (θ)$ . Para esto, considera la longitud de su segmento correspondiente en el diagrama de círculo unitario anterior a medida que $θ$ rota de $0$ radianes a $2 π$ radianes y de $0$ radianes a $- 2 π$ radianes. Explica cualquier característica interesante que observes en tu gráfica.

7.

En los ejes de coordenadas, dibuja la gráfica de $y = \cot (θ)$ . Para esto, considera la longitud de su segmento correspondiente en el diagrama del círculo unitario anterior a medida que $θ$ rota de $0$ radianes a $2 π$ radianes y de $0$ radianes a $- 2 π$ radianes. Explica cualquier característica interesante que observes en tu gráfica.

Aprendizajes

Hemos extendido las definiciones de seno, coseno y tangente para incluir todos los ángulos de rotación $θ$ usando las siguientes definiciones:

$\sin θ =$
$\cos θ =$
$\tan θ =$

En el círculo unitario, estas definiciones se convierten en:

$\sin θ =$
$\cos θ =$
$\tan θ =$

En el diagrama, $\tan θ = E D$ , porque

Esta proporción también muestra , ya que

Al analizar la longitud del segmento $D E$ a medida que el ángulo $θ$ aumenta alrededor del círculo, podemos obtener la siguiente gráfica de $f (θ) = \tan θ$ :

Las funciones se clasifican como pares o impares teniendo en cuenta las siguientes definiciones:

Una función es par si satisface esta propiedad:

Una función es impar si satisface esta propiedad:

Cuando analizamos el círculo unitario en los ángulos correspondientes $θ$ y $- θ$ , observamos que la función seno es impar porque , la función coseno es par porque , y la función tangente es impar porque .

Vocabulario

asíntota vertical
funciones trigonométricas recíprocas
función impar
función par
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección extendimos la definición de la razón tangente para triángulos rectángulos con el fin de incluir todos los ángulos de rotación. Usando esta definición, pudimos encontrar valores de la tangente de ángulos que son múltiplos de $\frac{π}{6}$ o $\frac{π}{4}$ en el círculo unitario y pudimos determinar las características clave de la gráfica de la función tangente.

Repaso

1.

Se dan la ecuación y la gráfica de $y = \sqrt[3]{x}$ . Escribe una ecuación nueva con las transformaciones dadas. Después, dibuja la nueva función en el mismo plano de la gráfica de la función básica.

a.

$y = \sqrt[3]{x}$

desplazamiento vertical: hacia abajo $1$
desplazamiento horizontal: hacia la izquierda $1$
ampliación vertical: $2$

Ecuación:

b.

2.

Explica por qué es imposible que $\sin θ > 1$ .