Lección 6 Identidades ocultas Practico lo que aprendí

Actividad inicial

Analiza cada una de las siguientes ecuaciones. Comparte con un compañero una razón por la que cada una de las ecuaciones se diferencia de las demás.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

$\frac{4}{3} x = 2 x$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$\sin (x) = 1$

Focos de aprendizaje

Solucionar ecuaciones trigonométricas usando identidades y gráficas.

¿Qué herramientas matemáticas uso para solucionar ecuaciones trigonométricas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Nota: Como las funciones trigonométricas son periódicas, las ecuaciones trigonométricas suelen tener varias soluciones. En general, solo estamos interesados en la solución que está en un intervalo restringido de $0$ a $2 π$ . En esta actividad debes encontrar todas las soluciones de las ecuaciones trigonométricas que están en el intervalo $[0, 2 π]$ .

Alyce, Javier y Verónica hallaron un libro de matemáticas en un baúl viejo, que uno de los adultos trajo a la zona arqueológica. Para afinar sus habilidades en trigonometría, intentan aprender cómo solucionar algunas ecuaciones trigonométricas del libro. Decidieron resolver este problema:

“Soluciona: $\cos (\frac{π}{2} - θ) = \frac{1}{2}$ ”.

A continuación, cada uno de ellos describe cómo intentó resolver este problema:

Alyce: Usé la función inversa del coseno.

Javier: Primero usé una identidad y después una función trigonométrica inversa. Pero no era la misma función trigonométrica inversa que Alyce usó.

Verónica: Grafiqué $y_{1} = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ y $y_{2} = \frac{1}{2}$ en mi calculadora. Parece que encontré más soluciones.

1.

Usando sus afirmaciones como pistas, vuelve a solucionar la ecuación como cada uno de los amigos lo hizo.

2.

¿En qué coinciden las soluciones de Verónica con las de Alyce y Javier? ¿En qué puede que sean diferentes?

Adapta las estrategias de Alyce y Javier para solucionar cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas: es decir, podrías ver si la ecuación se puede ajustar usando una de las identidades trigonométricas que aprendiste en la lección anterior, y una vez hayas despejado una función trigonométrica a un lado de la ecuación, puedes deshacer el efecto de la función trigonométrica aplicando su función inversa a ambos lados de la ecuación. Cuando tengas una solución, podrías revisar si encontraste todas las soluciones posibles en el intervalo $[0, 2 π]$ usando una gráfica, como se muestra en la estrategia de Verónica.

3.

$\sin (- θ) = - \frac{1}{2}$

4.

$\cos θ \cdot \tan θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

5.

$\sin (2 θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

¿Listo para más?

Soluciona la siguiente ecuación si $θ$ está en el intervalo $[0, 2 π]$ :

$\cos (3 θ) \cdot \tan (3 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Aprendizajes

A veces es útil encontrar las soluciones de una función trigonométrica en un dominio restringido, como $[0, 2 π]$ , porque

Por lo general, hay dos soluciones para una ecuación trigonométrica en el intervalo de $0$ a $2 π$ , con las siguientes excepciones:

Hemos extendido el método para solucionar ecuaciones trigonométricas para incluir:

Vocabulario

dominio restringido
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección extendimos el proceso que seguimos para solucionar ecuaciones trigonométricas. En particular, identificamos identidades trigonométricas que nos permiten convertir las expresiones trigonométricas en expresiones más sencillas. También descubrimos maneras de determinar cuántas soluciones de la ecuación trigonométrica ocurren en el intervalo de 0 a $2 π$ .

Repaso

1.

Usa el diagrama como ayuda para encontrar los dos ángulos $θ$ que son soluciones de la ecuación. (Recuerda que $0 < θ \leq 2 π$ ). Redondea tus respuestas a $2$ cifras decimales. (Tu calculadora debe estar configurada en radianes).

$\sin θ = \frac{2}{3}$

2.

Encuentra la medida en radianes del ángulo central de un círculo de radio $r$ que interseca un arco de longitud $s$ . $(s = r θ)$

Redondea tu respuesta a $4$ cifras decimales.

Radio = $13 in.$ Longitud de arco = $11 in.$

Medida del ángulo en radianes: