Lección 5Áreas de paralelogramos

Objetivo de aprendizaje

Investiguemos un poco más sobre el área de paralelogramos.

Metas de aprendizaje

Puedo identificar parejas de base y altura de un paralelogramo.
Puedo usar la fórmula del área para encontrar el área de cualquier paralelogramo.

Términos de la lección

altura (de un paralelogramo o un triángulo)
base (de un paralelogramo o un triángulo)
paralelogramo

Calentamiento: Un paralelogramo y sus rectángulos

Elena y Tyler trataban de encontrar el área de este paralelogramo:

Mueve el control deslizante para ver cómo lo hizo Tyler:

Mueve el control deslizante para ver cómo lo hizo Elena:

¿En qué se parecen las dos estrategias para encontrar el área de un paralelogramo? ¿En qué se diferencian?

versión impresa

Elena y Tyler trataban de encontrar el área de este paralelogramo:

Así lo hizo Elena:

Así lo hizo Tyler:

¿En qué se parecen las dos estrategias para encontrar el área de un paralelogramo? ¿En qué se diferencian?

Actividad 1: Encontremos la fórmula del área de los paralelogramos

Para cada paralelogramo:

Identifica una base y su altura correspondiente y anota sus longitudes en la siguiente tabla.
Encuentra el área y escríbela en la columna final a la derecha.

En la última fila, escribe una expresión usando $b$ y $h$ para calcular el área de cualquier paralelogramo.

paralelogramo	base (unidades)	altura (unidades)
$A$
$B$
$C$
$D$
cualquier paralelogramo	$b$	$h$

¿Estás listo para más?

Problema 1

¿Qué le sucede al área de un paralelogramo si la altura se duplica pero la base permanece igual?, ¿si la altura se triplica?, ¿si la altura es 100 veces la original?

Problema 2

¿Qué le sucede al área si tanto la base como la altura se duplican?, ¿si ambas se triplican?, ¿si ambas miden 100 veces sus longitudes originales

Actividad 2: Más áreas de paralelogramos

Problema 1

Calcula el área de la figura dada en el applet. Luego revisa si tu cálculo del área es correcto haciendo clic en la casilla Mostrar área.
Desactiva la casilla Mostrar área. Mueve uno de los vértices del paralelogramo para crear un nuevo paralelogramo, dibújalo y calcula su área. Luego revisa si tu cálculo es correcto usando la casilla Mostrar área de nuevo.
Repite este proceso dos veces más. Dibuja y marca cada paralelogramo con sus medidas y con el área que calculaste.
Repite este proceso dos veces más. Dibuja y marca cada paralelogramo con sus medidas y con el área que calculaste.

versión impresa

Encuentra el área de cada paralelogramo. Muestra tu razonamiento.

Problema 2

En el paralelogramo B de la primera pregunta, ¿cuál es la altura correspondiente a la base de 10 cm? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 3

Explica por qué sus áreas son iguales.
Arrastra puntos para crear dos nuevos paralelogramos que sin ser copias idénticas entre sí, tengan la misma área. Dibuja tus paralelogramos y explica o muestra cómo sabes que sus áreas son iguales. Luego haz clic en el botón Revisar para ver si las dos áreas son, en efecto, iguales.

versión impresa

El área de dos paralelogramos diferentes $P$ y $Q$ es 20 unidades cuadradas. Ninguno de los dos es un rectángulo.

Dibuja dos paralelogramos en la cuadrícula que puedan ser $P$ y $Q$ .

¿Estás listo para más?

Este es un paralelogramo compuesto por paralelogramos más pequeños. La región sombreada está compuesta por cuatro paralelogramos idénticos. Todas las longitudes están en pulgadas.

¿Cuál es el área del paralelogramo no sombreado en la mitad? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos sobre 2 partes importantes de los paralelogramos: la base y la altura.

Podemos elegir cualquiera de los cuatro lados de un paralelogramo como la base. Tanto el lado (el segmento) como su longitud (la medida) se llaman base.
Si dibujamos cualquier segmento perpendicular desde un punto sobre la base hasta el lado opuesto del paralelogramo, ese segmento siempre tendrá la misma longitud. A ese valor lo llamamos altura. ¡Hay infinitos segmentos de recta que pueden representar la altura!

Cualquier pareja de base y altura correspondiente puede ayudarnos a encontrar el área de un paralelogramo, pero algunas parejas de base y altura son más fáciles de identificar que otras.

A menudo usamos letras para representar números. Si $b$ es la longitud de la base de un paralelogramo (en unidades) y $h$ es la longitud de la altura correspondiente (en unidades), entonces el área del paralelogramo (en unidades cuadradas) es el producto de esos dos números, $b \cdot h$ . Observa que para representar la multiplicación usamos un pequeño punto en vez del símbolo $\times$ . Esto lo hacemos para no confundirnos con respecto a si $\times$ significa multiplicación o si se trata de la letra $x$ y representa un número.

Cuando un paralelogramo está dibujado en una cuadrícula y tiene lados horizontales, podemos usar uno de ellos como la base. Cuando tiene lados verticales, podemos usar uno de ellos como la base. La cuadrícula nos puede ayudar a encontrar (o estimar) las longitudes de la base y de la altura correspondiente.

Cuando un paralelogramo no está dibujado en una cuadrícula, también podemos encontrar su área si conocemos una base y una altura correspondiente.

En este paralelogramo, la altura que corresponde al lado que mide 10 unidades de longitud no está dada, pero la altura que corresponde al lado que mide 8 unidades de longitud sí lo está. Esta pareja de base y altura puede ayudarnos a encontrar el área, que en este caso es 64 unidades cuadradas, dado que $8 \cdot 8 = 64$ .

Sin importar su forma, los paralelogramos que tienen la misma base y la misma altura tendrán la misma área; el producto de la base y la altura será igual. Las parejas de base y altura de estos paralelogramos tienen las mismas medidas.