Lección 3Hagamos las movidas

Objetivo de aprendizaje

Dibujemos y describamos traslaciones, rotaciones y reflexiones.

Metas de aprendizaje

Puedo usar cuadrículas para realizar transformaciones de figuras.
Puedo utilizar los términos traslación, rotación y reflexión para describir transformaciones con precisión.

Términos de la lección

en el sentido contrario a las manecillas del reloj
imagen
reflexión
secuencia de transformaciones
transformación
vértice

Calentamiento: Observa y pregúntate: la cuadrícula isométrica

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: Información de transformación

Tu profesor te dará papel de calcar para hacer las movidas especificadas. Usa $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ y $D^{'}$ para indicar los vértices de la nueva figura que corresponden a los puntos $A$ , $B$ , $C$ y $D$ en la figura original.

Problema 1

Sigue las instrucciones que están debajo de cada enunciado para decirle a Geogebra cómo quieres que se mueva la figura. Es importante observar que Geogebra usa vectores para mostrar las traslaciones. Un vector es una cantidad que tiene magnitud (tamaño) y dirección. Usualmente se representa con una flecha.

Estos applets son sensibles a los clics. Asegúrate de hacer clic una vez rápidamente, si no, puede que esto cuente como un doble clic.

Después de cada ejemplo, haz clic en el botón reiniciar y luego mueve el deslizador para llegar a la siguiente pregunta.

Traslada el triángulo $A B C$ de forma que $A$ vaya a $A^{'}$ .
1. Elige la herramienta “Vector”.
2. Haz clic sobre el punto original $A$ y luego sobre el punto $A^{'}$ . Deberías ver un vector.
3. Elige la herramienta “Traslación”.
4. Haz clic sobre la figura que vas a trasladar y luego haz clic sobre el vector.
Traslada el triángulo $A B C$ para que $C$ vaya a $C^{'}$ .
Rota el triángulo $A B C$ $90^{\circ}$ en el sentido contrario a las manecillas del reloj usando el centro $O$ .
1. Elige la herramienta “Rotación”.
2. Haz clic sobre la figura que vas a rotar y luego haz clic en un punto, que será el centro de rotación.
3. Se abrirá una ventana de diálogo; escribe el ángulo por el que quieres rotar y elige la dirección de la rotación.
4. Haz clic en OK.
Refleja el triángulo $A B C$ usando la recta $ℓ$ .
1. Elige la herramienta “Simetría Axial”.
2. Haz clic en la figura que vas a reflejar, y luego haz clic sobre la recta de reflexión.

versión impresa

En la figura 1, traslada el triángulo $A B C$ de forma que $A$ vaya a $A^{'}$ .
En la figura 2, traslada el triángulo $A B C$ de forma que $C$ vaya a $C^{'}$ .
En la figura 3, rota el triángulo $A B C$ $90^{\circ}$ en el sentido contrario a las manecillas del reloj usando el centro $O$ .
En la figura 4, refleja el triángulo $A B C$ usando la recta $ℓ$ .

Problema 2

Rota el cuadrilátero $A B C D$ $60^{\circ}$ en el sentido contrario a las manecillas del reloj usando el centro $B$ .
Rota el cuadrilátero $A B C D$ $60^{\circ}$ en el sentido de las manecillas del reloj usando el centro $C$ .
Refleja el cuadrilátero $A B C D$ usando la recta $ℓ$ .
Traslada el cuadrilátero $A B C D$ de forma que $A$ vaya a $C$ .

versión impresa

En la figura 5, rota el cuadrilátero $A B C D$ $60^{\circ}$ en el sentido contrario a las manecillas del reloj usando el centro $B$ .
En la figura 6, rota el cuadrilátero $A B C D$ $60^{\circ}$ en el sentido de las manecillas del reloj usando el centro $C$ .
En la figura 7, refleja el cuadrilátero $A B C D$ usando la recta $ℓ$ .
En la figura 8, traslada el cuadrilátero $A B C D$ de forma que $A$ vaya a $C$ .

¿Estás listo para más?

Intenta tus propias traslaciones, reflexiones y rotaciones.

Crea tu propio polígono para transformar y luego elige una transformación.
Predice qué ocurrirá cuando transformes la imagen. Inténtalo, ¿estabas en lo correcto?
¡Reta a tu compañero! Haz clic derecho en cualquier vector o recta y quita la opción ”Mostrar objeto”. ¿Tu compañero puede adivinar qué transformación usaste?

Crea tu propio polígono para transformar y luego elige una transformación.
Predice qué ocurrirá cuando transformes la imagen. Inténtalo, ¿estabas en lo correcto?
¡Reta a tu compañero! Haz clic derecho en cualquier vector o recta y quita la opción ”Mostrar objeto”. ¿Tu compañero puede adivinar qué transformación usaste?
¡Reta a tu compañero!

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El efecto de cada movida se puede deshacer usando otra movida. Por ejemplo, para deshacer el efecto de trasladar 3 unidades hacia la derecha, podríamos trasladar 3 unidades hacia la izquierda. ¿Qué movida deshace cada una de las siguientes movidas?

Trasladar 3 unidades hacia arriba
Trasladar 1 unidad hacia arriba y 1 unidad hacia la izquierda
Rotar 30 grados en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de un punto $P$
Reflejar con respecto a la recta $ℓ$

Actividad 2: A a B a C

Estas son algunas figuras en una cuadrícula isométrica. Explora las herramientas de transformación en la barra de herramientas. (Las instrucciones están abajo del applet si las necesitas).

Trasladar

Elige la herramienta “Vector”.
Haz clic sobre el punto original y luego sobre el nuevo punto; deberías ver un vector.
Elige la herramienta “Traslación”.
Haz clic sobre la figura que vas a trasladar, y luego haz clic sobre el vector.

Rotar

Elige la herramienta “Rotación”.
Haz clic sobre la figura que vas a rotar, y luego haz clic en el punto central.
Se abrirá una ventana de diálogo. Escribe el ángulo de la rotación y elige la dirección de la rotación.

Reflejar

Elige la herramienta “Simetría Axial”.
Haz clic en la figura que vas a reflejar y luego sobre la recta de reflexión.

Nombra una transformación que lleve la figura $A$ a la figura $B$ . Nombra una transformación que lleve la figura $B$ a la figura $C$ .
¿Qué secuencia de transformaciones lleva la figura $A$ a la figura $C$ ? Explica cómo lo sabes.

versión impresa

Estas son algunas figuras en una cuadrícula isométrica.

Nombra una transformación que lleve la figura $A$ a la figura $B$ . Nombra una transformación que lleve la figura $B$ a la figura $C$ .
¿Qué secuencia de transformaciones lleva la figura $A$ a la figura $C$ ? Explica cómo lo sabes.

¿Estás listo para más?

Experimenta con otras maneras que lleven la figura $A$ a la figura $C$ . Por ejemplo, di si puedes hacerlo:

sin rotaciones
sin reflexiones
sin traslaciones

versión impresa

Experimenta con otras maneras que lleven la figura $A$ a la figura $C$ . Por ejemplo, di si puedes hacerlo:

sin rotaciones
sin reflexiones
sin traslaciones

Resumen de la lección

Una movida o una combinación de movidas se llama una transformación. Cuando hacemos una o más movidas seguidas, a menudo las llamamos una secuencia de transformaciones. Cuando una figura está en una cuadrícula, podemos usar esa cuadrícula para describir una transformación. Usamos la palabra imagen para describir la figura después de una transformación. Para distinguir la figura original de su imagen, los puntos de la imagen suelen etiquetarse con las mismas letras que la figura original, pero con el símbolo $^{'}$ al lado, como en $A^{'}$ (que se pronuncia “A prima”) que es la imagen de $A$ después de una transformación.

Una traslación se puede describir con dos puntos. Si una traslación mueve el punto $A$ al punto $A^{'}$ , toda la figura se mueve la misma distancia y en la misma dirección que se mueve $A$ a $A^{'}$ . La distancia y dirección de una traslación se pueden mostrar con una flecha.

Por ejemplo, esta es una traslación del cuadrilátero $A B C D$ que lleva $A$ a $A^{'}$ .

Una rotación se puede describir con un ángulo y un centro. La dirección del ángulo puede ser en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Por ejemplo, el cuadrilátero $K L M N$ se rota 60 grados en el sentido contrario a las manecillas del reloj usando $P$ como centro. Este tipo de cuadrícula se llama cuadrícula isométrica. La cuadrícula isométrica está formada por triángulos equiláteros. En los triángulos, cada uno de los ángulos mide 60 grados, lo que hace que la cuadrícula isométrica sea conveniente para mostrar rotaciones de 60 grados.

Una reflexión se puede describir con una recta de reflexión (el “espejo”). Cada punto se refleja directamente con respecto a la recta, de manera que el nuevo punto quede a la misma distancia de la recta pero en el lado opuesto.

Por ejemplo, el pentágono $A B C D$ se refleja con respecto a la recta $m$ .