Lección 12Ángulos alternos internos

Objetivo de aprendizaje

Exploremos por qué algunos ángulos siempre son iguales.

Metas de aprendizaje

Puedo encontrar las medidas de ángulos desconocidos razonando sobre ángulos complementarios o suplementarios.
Si tengo dos rectas paralelas cortadas por una transversal, puedo identificar ángulos alternos internos y usar eso para encontrar las medidas de ángulos que faltan.

Términos de la lección

ángulo llano
ángulos adyacentes
ángulos alternos internos
ángulos opuestos
complementarios
suplementarios
transversal

Calentamiento: Parejas de ángulos

Encuentra la medida del ángulo $J G H$ . Explica o muestra tu razonamiento.
Encuentra y etiqueta un segundo ángulo de $30^{\circ}$ en el diagrama. Encuentra y etiqueta un ángulo que sea congruente al ángulo $J G H$ .

Actividad 1: Cortemos rectas paralelas con una transversal

Las rectas $A C$ y $D F$ son paralelas y son cortadas por la transversal $H J$ .

Con su compañero, encuentren las siete medidas desconocidas de los ángulos en el diagrama. Expliquen su razonamiento.
¿Qué observan sobre los ángulos con vértice $B$ y los ángulos con vértice $E$ ?
Usando lo que observaron, determinen las medidas de los cuatro ángulos en el punto $B$ del segundo diagrama. Las rectas $A C$ y $D F$ son paralelas.
El siguiente diagrama se parece al primero, pero las rectas forman ángulos ligeramente diferentes. Trabaja con tu compañero para determinar los seis ángulos desconocidos con vértices en los puntos $B$ y $E$ .
¿Qué observan sobre los ángulos en este diagrama en comparación con los del diagrama anterior? ¿En qué se diferencian los dos diagramas? ¿En qué se parecen?

¿Estás listo para más?

Las rectas paralelas $ℓ$ y $m$ son cortadas por dos transversales que intersecan $ℓ$ en el mismo punto. Se etiquetan dos ángulos en la figura. Determina la medida $x$ del tercer ángulo.

Actividad 2: Los ángulos alternos internos son congruentes

Problema 1

Las rectas $ℓ$ y $k$ son paralelas y $t$ es una transversal. El punto $M$ es el punto medio del segmento $P Q$ .

Encuentra una transformación rígida que muestre que los ángulos $M P A$ y $M Q B$ son congruentes.

Problema 2

En este diagrama, las rectas $ℓ$ y $k$ ya no son paralelas, pero $M$ aún es el punto medio del segmento $P Q$ .

¿Tu argumento en el problema anterior aplica para esta situación? Explica.

Actividad 3: Falta de información: encontremos ángulos

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

Lee tu tarjeta en silencio y piensa en qué información necesitas para responder la pregunta.
Pide a tu compañero la información específica que necesitas.
Explica a tu compañero cómo vas a usar esa información para resolver el problema.
Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para resolver el problema.
Comparte la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.
Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

Lee en silencio tu tarjeta.
Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?”. Espera a que tu compañero te pida la información.
Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.
Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale: “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha las razones de tu compañero y hazle preguntas aclaratorias.
Lee la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.
Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas, intercambia roles con tu compañero y repite la actividad.

Resumen de la lección

Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos opuestos son iguales y los ángulos adyacentes son suplementarios, es decir, sus medidas suman 180 $^{\circ}$ . Por ejemplo, en esta figura los ángulos 1 y 3 son iguales, los ángulos 2 y 4 son iguales, los ángulos 1 y 4 son suplementarios, y los ángulos 2 y 3 son suplementarios.

Cuando dos rectas paralelas se cortan por otra recta, llamada una transversal, se crean dos parejas de ángulos alternos internos (”interno” significa al interior, o entre, las dos rectas paralelas). Por ejemplo, en esta figura los ángulos 3 y 5 son ángulos alternos internos, y los ángulos 4 y 6 también son ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos son iguales porque una rotación de $180^{\circ}$ alrededor del punto medio del segmento que une sus vértices lleva cada ángulo al otro. Imagina un punto $M$ en la mitad entre las dos intersecciones, ¿puedes ver cómo una rotación de $180^{\circ}$ alrededor de $M$ lleva el ángulo 3 al ángulo 5?

Al usar lo que sabemos sobre ángulos opuestos, ángulos adyacentes y ángulos alternos internos, podemos encontrar las medidas de cualquiera de los ochos ángulos creados por una transversal, si conocemos solo uno de ellos. Por ejemplo, partiendo del hecho de que el ángulo 1 es $70^{\circ}$ , usamos los ángulos opuestos para ver que el ángulo 3 es $70^{\circ}$ ; luego, usamos ángulos alternos internos para ver que el ángulo 5 es $70^{\circ}$ ; después, usamos el hecho de que el ángulo 5 es suplementario al ángulo 8 para ver que el ángulo 8 es $110^{\circ}$ porque $180 - 70 = 110$ . Resulta que realmente solo hay dos medidas diferentes. En este ejemplo, los ángulos 1, 3, 5 y 7 miden $70^{\circ}$ , y los ángulos 2, 4, 6 y 8 miden $110^{\circ}$ .