Lección 11Congruencia

Objetivo de aprendizaje

Decidamos si dos figuras son congruentes.

Metas de aprendizaje

  • Puedo decidir usando transformaciones rígidas si dos figuras son o no son congruentes.

  • Puedo usar distancias entre puntos para decidir si dos figuras son congruentes.

Términos de la lección

  • ángulo recto
  • congruente

Calentamiento: Imágenes trasladadas

Problema 1

Todos estos triángulos son congruentes. A veces podemos llevar una figura a otra usando una traslación. Sombrea los triángulos que son imágenes del triángulo al realizar una traslación.

Actividad 1: Parejas Congruentes

Problema 1

Para cada una de las siguientes parejas de figuras, decide si son congruentes o no. Explica tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Problema 1

Un polígono tiene 8 lados: cinco de longitud 1, dos de longitud 2 y uno de longitud 3. Todos los lados están sobre rectas de la cuadrícula. (En este problema te puede ayudar usar papel de calcar).

  1. Encuentra un polígono que tenga estas características.

  2. ¿Hay otro polígono que tenga estas características y que no sea congruente al primero?

Actividad 2: Puntos correspondientes en figuras congruentes

Problema 1

Estas son dos figuras congruentes; se han etiquetado algunos puntos correspondientes.

  1. Dibujen los puntos que corresponden a , y , y etiquétenlos como , y .

  2. Dibujen los segmentos de recta y , y mídanlos. Hagan lo mismo para los segmentos y , y para los segmentos y . ¿Qué observan?

  3. ¿Creen que podría haber un par de segmentos correspondientes con longitudes diferentes? Expliquen.

Resumen de la lección

¿Cómo sabemos si dos figuras son congruentes?

  • Si copiamos una figura sobre papel de calcar y al mover el papel la copia cubre exactamente la otra figura, entonces eso parece indicar que son congruentes.

  • Para demostrar que dos figuras son congruentes, podemos describir una secuencia de traslaciones, rotaciones y reflexiones que muevan una figura hacia la otra de manera que coincidan exactamente.

  • Las distancias entre puntos correspondientes en figuras congruentes siempre son iguales, incluso en figuras curvas. Por ejemplo, en estos óvalos congruentes, los segmentos correspondientes y tienen la misma longitud:

¿Cómo sabemos que dos figuras no son congruentes?

  • Si no hay correspondencia entre las figuras en las partes que tienen medidas iguales, eso demuestra que las dos figuras no son congruentes. En particular:

    • Si las longitudes de los lados de dos polígonos son diferentes, estos no pueden ser congruentes. Por ejemplo, las longitudes de los lados de la figura de la izquierda son 3, 2, 1, 1, 2, 1. Las longitudes de los lados de la figura de la derecha son 3, 3, 1, 2, 2, 1. No hay forma de establecer una correspondencia entre ellas en la que todos los lados correspondientes tengan la misma longitud.

  • Si las longitudes de los lados de dos polígonos son iguales, pero no están en el mismo orden a medida que se recorre cada polígono, los polígonos no pueden ser congruentes. Por ejemplo, el rectángulo no puede ser congruente al cuadrilátero . Aunque ambos tienen dos lados de longitud 3 y dos lados de longitud 5, no corresponden entre sí en el mismo orden. En , el orden es 3, 5, 3, 5 o 5, 3, 5, 3; en , el orden es 3, 3, 5, 5, o 3, 5, 5, 3 o 5, 5, 3, 3.

  • Si las longitudes de los lados de dos polígonos son iguales y en el mismo orden, pero tienen ángulos correspondientes diferentes, los polígonos no pueden ser congruentes. Por ejemplo, el paralelogramo no puede ser congruente al rectángulo . Aunque las longitudes de sus lados son iguales y en el mismo orden, sus ángulos son diferentes. En , todos los ángulos son ángulos rectos. En , los ángulos y miden menos de 90 grados y los ángulos y miden más de 90 grados.

  • Si tenemos figuras curvas, como estos 2 óvalos, podemos encontrar partes de las figuras que deberían corresponder pero que tienen medidas diferentes. En ambos, la mayor distancia de izquierda a derecha es 5 unidades y la mayor distancia de arriba abajo es 4 unidades. En el óvalo de la izquierda, el segmento de recta desde el punto más alto hasta el más bajo está en la mitad, pero en el óvalo de la derecha, está a 2 unidades del extremo derecho y a 3 unidades del extremo izquierdo. Esto demuestra que no son congruentes.