Lección 24El volumen de una esfera

Objetivo de aprendizaje

Exploremos esferas y sus volúmenes.

Meta de aprendizaje

  • Puedo encontrar el volumen de una esfera si conozco el radio.

Calentamiento: Dibujemos una esfera

Problema 1

Este es un método para dibujar rápidamente una esfera:

  • Dibuja un círculo. 

  • Dibuja un óvalo en el medio cuyos bordes toquen la esfera. 

  • Practica dibujar algunas esferas. Dibújalas de tamaños diferentes. 

  • En cada esfera, dibuja un radio y etiquétalo con .

Actividad 1: Una esfera en un cilindro

Problema 1

Estos son un cono, una esfera y un cilindro que tienen todos los mismos radios y alturas. El radio del cilindro es 5 unidades. Si es necesario, expresa todas las respuestas en términos de .

  1. ¿Cuál es la altura del cilindro?

  2. ¿Cuál es el volumen del cilindro?

  3. ¿Cuál es el volumen del cono?

  4. ¿Cuál es el volumen de la esfera? Explica tu razonamiento.

Actividad 2: Esferas en cilindros

Problema 1

Estos son un cono, una esfera y un cilindro que tienen todos los mismos radios y las mismas alturas. Digamos que el radio del cilindro es unidades. Cuando sea necesario, expresa las respuestas en términos de .

  1. ¿Cuál es la altura del cilindro en términos de ?

  2. ¿Cuál es el volumen del cilindro en términos de ?

  3. ¿Cuál es el volumen del cono en términos de ?

  4. ¿Cuál es el volumen de la esfera en términos de ?

  5. El volumen del cono es del volumen de un cilindro. ¿Qué fracción del volumen del cilindro es el volumen de la esfera?

Resumen de la lección

Piensa en una esfera con radio unidades que cabe de manera ajustada dentro de un cilindro. Si este es el caso, el cilindro debe tener un radio de unidades y una altura de unidades. Si usamos lo que hemos aprendido sobre volumen, el cilindro tiene un volumen de , lo que es igual a unidades cúbicas.

Sabemos por una lección anterior que el volumen de un cono que tiene la misma base y la misma altura de un cilindro tiene del volumen del cilindro. En este ejemplo, ese cono tiene un volumen de o simplemente unidades cúbicas.

Si llenamos el cono y la esfera con agua y luego vertimos toda el agua en el cilindro, el cilindro quedará completamente lleno. Esto significa que el volumen de la esfera y el volumen del cono se suman al volumen del cilindro. En otras palabras, si es el volumen de la esfera, entonces:

Esto nos lleva a la fórmula del volumen de la esfera: