Lección 18El volumen y las dimensiones de un cilindro

Objetivo de aprendizaje

Exploremos los volúmenes y las dimensiones de los cilindros.

Metas de aprendizaje

Conozco la fórmula del volumen de un cilindro.
Puedo encontrar información que falta sobre un cilindro si conozco su volumen y otra información.

Términos de la lección

cilindro
cono
esfera

Calentamiento: Dimensiones de un círculo

Este es un círculo. Están dibujados los puntos $A$ , $B$ , $C$ y $D$ , y los segmentos $A D$ y $B C$ .

¿Cuál es el área del círculo, en unidades cuadradas? Selecciona todas las que correspondan.
1. $4 π$
2. $π 8$
3. $16 π$
4. $π 4^{2}$
5. Aproximadamente $25$
6. Aproximadamente $50$
Si el área de un círculo es $49 π$ unidades cuadradas, ¿cuál es su radio? Explica tu razonamiento.

Actividad 1: Volúmenes circulares

¿Cuál es el volumen de cada figura, en unidades cúbicas? Incluso si no estás seguro, intenta hacer una conjetura razonable.

Figura A: A es un prisma rectangular cuya base tiene un área de 16 unidades cuadradas y cuya altura es 3 unidades.
Figura B: A es un cilindro cuya base tiene un área de 16 $π$ unidades cuadradas y cuya altura es 1 unidad.
Figura C: A es un cilindro cuya base tiene un área de 16 $π$ unidades cuadradas y cuya altura es 3 unidades.

¿Estás listo para más?

prisma	prisma	prisma	cilindro
base: cuadrado	base: hexágono	base: octágono	base: círculo

Estos sólidos están relacionados por una medida común. En cada uno de estos sólidos, la distancia del centro de la base al borde más lejano de la base es 1 unidad, y la altura del sólido es 5 unidades. Usa 3.14 como una aproximación para $π$ para resolver estos problemas.

Determina el área de la base cuadrada y de la base circular.
Usa estas áreas para calcular los volúmenes del prisma rectangular y del cilindro. ¿Cómo se relacionan?
Sin hacer cálculos, haz una lista de las figuras de menor a mayor de acuerdo a su volumen. Usa las imágenes y tu conocimiento de polígonos para explicar tu razonamiento.
El área del hexágono es aproximadamente 2.6 unidades cuadradas y el área del octágono es aproximadamente 2.83 unidades cuadradas. Usa estas áreas para calcular los volúmenes de los prismas con el hexágono y el octágono como bases. ¿Qué tanto coincide esto con tu razonamiento en la pregunta anterior?

Actividad 2: ¿Cuál es la dimensión?

El volumen, $V$ , de un cilindro con radio $r$ está dado por la fórmula $V = π r^{2} h$ .

El volumen de este cilindro con radio 5 unidades es $50 π$ unidades cúbicas. Este enunciado es verdadero:
$50 π = 5^{2} π h$
¿Cuál tiene que ser la altura de este cilindro? Explica cómo lo sabes.
El volumen de este cilindro con altura 4 unidades es $36 π$ unidades cúbicas. Este enunciado es verdadero:
$36 π = r^{2} π 4$

¿Cuál tiene que ser el radio de este cilindro? Explica cómo lo sabes.

¿Estás listo para más?

Supón que un cilindro tiene un volumen de $36 π$ pulgadas cúbicas, pero no es el mismo cilindro que encontraste antes en esta actividad.

¿Cuáles pueden ser las dimensiones del cilindro?
¿Cuántos cilindros diferentes que tengan un volumen de $36 π$ pulgadas cúbicas puedes encontrar?

Actividad 3: Cilindros con dimensiones desconocidas

Cada fila de la tabla tiene información sobre un cilindro en particular. Completa la tabla con las dimensiones que faltan.

diámetro (unidades)	radio (unidades)	altura (unidades)	volumen (unidades cúbicas)
	$3$	$5$
$12$			$108 π$
		$11$	$99 π$
$8$			$16 π$
		$100$	$16 π$
	$10$		$20 π$
$20$			$314$
		$b$	$π \cdot b \cdot a^{2}$

Resumen de la lección

Para encontrar el volumen de un cilindro de radio $r$ y altura $h$ , podemos usar dos ideas que hemos visto antes:

El volumen de un prisma rectangular es el resultado de multiplicar el área de su base por su altura.
La base del cilindro es un círculo de radio $r$ , así que el área de la base es $π r^{2}$ .

Recordemos que $π$ es el número que se obtiene al dividir la circunferencia de cualquier círculo entre su diámetro. El valor de $π$ es aproximadamente 3.14.

Al igual que en un prisma rectangular, el volumen de un cilindro es el área de la base multiplicada por la altura. Por ejemplo, tomemos un cilindro cuyo radio es 2 cm y cuya altura es 5 cm.

La base tiene un área de $4 π {cm}^{2}$ (ya que $π \cdot 2^{2} = 4 π$ ), entonces el volumen es $20 π {cm}^{3}$ (dado que $4 π \cdot 5 = 20 π$ ). Si aproximamos $π$ a 3.14, podemos decir que el volumen del cilindro es aproximadamente $62.8 {cm}^{3}$ .

En general, la base de un cilindro de radio $r$ unidades tiene un área de $π r^{2}$ unidades cuadradas. Si la altura es $h$ unidades, entonces el volumen, $V$ , en unidades cúbicas es $V = π r^{2} h$ .

También es cierto que si conocemos el volumen y una dimensión (ya sea el radio o la altura), podemos determinar la otra dimensión.

Por ejemplo, imagina un cilindro que tiene un volumen de $500 π {cm}^{3}$ y un radio de 5 cm, pero se desconoce su altura. A partir de la fórmula del volumen sabemos que

$500 π = π \cdot 25 \cdot h$ debe ser cierto. Al examinar la estructura de la ecuación, vemos que $500 = 25 h$ . Eso significa que la altura tiene que ser 20 cm, ya que $500 \div 25 = 20$ .

Ahora imagina otro cilindro que también tiene un volumen de $500 π {cm}^{3}$ y una altura de 5 cm, pero se desconoce su radio. Sabemos que

$500 π = π \cdot r^{2} \cdot 5$ debe ser cierto. Al examinar la estructura de la ecuación, vemos que $r^{2} = 100$ . Entonces, el radio debe ser 10 cm.

Lección 18El volumen y las dimensiones de un cilindro

Objetivo de aprendizaje

Metas de aprendizaje

Términos de la lección

Calentamiento: Dimensiones de un círculo

Problema 1

Actividad 1: Volúmenes circulares

Problema 1

¿Estás listo para más?

Problema 1

Actividad 2: ¿Cuál es la dimensión?

Problema 1

¿Estás listo para más?

Problema 1

Actividad 3: Cilindros con dimensiones desconocidas

Problema 1

Resumen de la lección