Lección 25Cilindros, conos y esferas

Objetivo de aprendizaje

Encontremos el volumen de figuras.

Metas de aprendizaje

  • Puedo encontrar el radio de una esfera si conozco su volumen.

  • Puedo resolver problemas matemáticos y de la vida real sobre el volumen de cilindros, conos, y esferas.

Calentamiento: Discusión sobre la esfera

Problema 1

Cuatro estudiantes calcularon el volumen de una esfera de 9 centímetros de radio y obtuvieron cuatro respuestas diferentes.

  • Han piensa que es 108 centímetros cúbicos.

  • Jada obtuvo centímetros cúbicos.

  • Tyler calculó 972 centímetros cúbicos.

  • Mai dice que es centímetros cúbicos.

¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

Actividad 1: El radio de la esfera

Problema 1

El volumen de esta esfera de radio es . Este enunciado es verdadero:

¿Cuál es el valor de para esta esfera? Explica cómo lo sabes.

Actividad 2: Falta de información: dimensiones desconocidas

Problema 1

Tu profesor te dará una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No se la muestres ni se la leas a tu compañero.

Si tu profesor te da una tarjeta de problema:

  1. Lee tu tarjeta en silencio y piensa en qué información necesitas para responder la pregunta.

  2. Pide a tu compañero la información específica que necesitas.

  3. Explica a tu compañero cómo vas a usar esa información para resolver el problema.

    Sigue haciendo preguntas hasta que tengas suficiente información para resolver el problema.

  4. Comparte la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.

  5. Lee la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Si tu profesor te da una tarjeta de datos:

  1. Lee en silencio tu tarjeta.

  2. Pregunta a tu compañero: “¿Qué información específica necesitas?”. Espera a que tu compañero te pida la información.

    Si tu compañero te pide información que no está en la tarjeta, no hagas los cálculos por él. Dile que no tienes esa información.

  3. Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale: “¿Por qué necesitas esa información?”. Escucha las razones de tu compañero y hazle preguntas aclaratorias.

  4. Lee la tarjeta de problema y resuelvan el problema individualmente.

  5. Comparte la tarjeta de datos y discute tu razonamiento con tu compañero.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas, intercambia roles con tu compañero y repite la actividad.

Actividad 3: La capacidad correcta

Problema 1

Un cilindro con diámetro de 3 centímetros y altura de 8 centímetros se llena con agua. Decide cuáles de las siguientes figuras, si hay alguna, podrían contener toda el agua del cilindro. Explica tu razonamiento.

  1. Un cono con una altura de 8 centímetros y un radio de 3 centímetros.

  2. Un cilindro con un diámetro de 6 centímetros y una altura de 2 centímetros.

  3. Un prisma rectangular con un largo de 3 centímetros, ancho de 4 centímetros y altura de 8 centímetros.

  4. Una esfera con un radio de 2 centímetros.

¿Estás listo para más?

Problema 1

Un cuervo sediento quiere elevar el nivel del agua de un recipiente cilíndrico para poder alcanzar el agua con su pico.

  • El contenedor tiene un diámetro de 2 pulgadas y una altura de 9 pulgadas.

  • El nivel del agua es actualmente de 6 pulgadas.

  • El cuervo puede alcanzar el agua si esta está a 1 pulgada de la parte superior del recipiente.

Para elevar el nivel del agua, el cuervo pone piedras esféricas en el recipiente. Si las piedras tienen aproximadamente pulgada de diámetro, ¿cuál es la cantidad mínima de piedras que el cuervo debe colocar en el recipiente para alcanzar el agua?

Resumen de la lección

La fórmula

da el volumen de una esfera de radio . Podemos usar la fórmula para encontrar el volumen de una esfera de radio conocido. Por ejemplo, si el radio de una esfera es de 6 unidades, entonces el volumen será

o aproximadamente unidades cúbicas. También podemos usar la fórmula para encontrar el radio de una esfera si solo conocemos su volumen. Por ejemplo, si sabemos que el volumen de una esfera es unidades cúbicas, pero desconocemos el radio, entonces esta ecuación es verdadera:

Esto significa que y, por lo tanto, el radio tiene que ser 3 unidades para que cada lado de la ecuación tenga el mismo valor.

Muchos objetos comunes, desde botellas de agua hasta edificios y globos tienen una forma semejante a la de los prismas rectangulares, cilindros, conos y esferas (¡o incluso combinaciones de estas formas!). Al usar las fórmulas de volumen para estas figuras podemos comparar el volumen de diferentes tipos de objetos, a veces con resultados sorprendentes.

Por ejemplo, una caja en forma de cubo cuyo lado tiene una longitud de 3 centímetros contiene menos que una esfera con un radio de 2 centímetros, porque el volumen del cubo es 27 centímetros cúbicos () y el volumen de la esfera es aproximadamente 33.51 centímetros cúbicos ().