Lección 5 Sentido común Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Usar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales.

Resolver sistemas de ecuaciones que contienen funciones exponenciales.

¿Cómo podemos usar los logaritmos y el razonamiento algebraico como ayuda para resolver ecuaciones exponenciales?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Ya sabes que nuestro sistema numérico es en base , entonces cada uno de los distintos valores posicionales de un número es una potencia de . Eso hace que las funciones exponenciales en base y las funciones logarítmicas en base sean muy importantes. Como el logaritmo en base se usa frecuentemente, se llama el “logaritmo común” y para que la notación sea un poco más corta, por lo general se escribe sin la base. Entonces se usa así:

, porque .

, porque .

¿Ves que cuando no hay una base escrita simplemente se asume que la base es ? ¡Este es el tipo de notación concisa que les encanta a los matemáticos! Cuando uses la tecla “log” de tu calculadora, automáticamente estará en base . (Hay tecnología que también te permite poner una base distinta para un logaritmo).

Cada una de las siguientes secciones contiene acertijos sobre funciones exponenciales en base que debes resolver. Vas a usar logaritmos en base y lo que sabes sobre los exponentes para encontrar valores desconocidos de funciones exponenciales en tablas, gráficas y ecuaciones. Mientras trabajas, busca estrategias que te ayuden a resolver ecuaciones que tienen una variable en el exponente.

Acertijos en tablas

1.

Encuentra los valores desconocidos de en las tablas.

a.

b.

c.

En la primera tabla, cuando el valor de era y tratabas de encontrar , probablemente pensaste en una ecuación como , así no la hayas escrito. ¡Esta es tu oportunidad! Escribe todas las ecuaciones, y sus soluciones, que se usaron para encontrar los valores desconocidos de en ambas tablas. Yo te di la primera. ¡De nada!

Tabla a: ,

Tabla b:

2.

¿Qué estrategia usaste para encontrar las soluciones de estas ecuaciones cuando completabas las tablas?

Acertijos en gráficas

3.

A continuación se muestra la gráfica de . Usa la gráfica para despejar en las ecuaciones y marca las soluciones.

a coordinate plane with a curved line representing to function 10 to the negative X powerx555101010y505050100100100000

a.

Marca la solución en la gráfica con una .

b.

Marca la solución en la gráfica con una .

c.

Marca la solución en la gráfica con una .

4.

Examinemos un poco más de cerca las soluciones que obtuviste a partir de la gráfica. Considera esta ecuación:

¿Obtendrías el mismo resultado si tomaras el logaritmo en base de ambos lados de la ecuación? Inténtalo aquí:

Continúa reescribiendo ambos lados y usando las propiedades de los logaritmos.

5.

Intentémoslo otra vez con . Comienza por tomar el logaritmo en base de ambos lados de la ecuación, luego escribe expresiones equivalentes y comprueba tu respuesta con la gráfica.

6.

¿Por qué obtienes el mismo valor con este proceso y con la gráfica?

7.

Una de las ecuaciones que escribiste en los acertijos en tablas fue: .

¿Cómo podrías desenredar esta ecuación usando operaciones básicas y logaritmos? Muestra tus pasos aquí.

Ahora estás listo para los acertijos en ecuaciones. ¡Vamos!

Acertijos en ecuaciones

Despeja en cada ecuación.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

Acertijos combinados

Escoge cualquier método para resolverlos.

14.

15.

16.

¿Listo para más?

Resuelve la ecuación usando dos métodos:

Método 1: Usa un logaritmo en base para encontrar una expresión exacta que represente la solución.

Método 2: Usa un logaritmo en base para encontrar un valor aproximado de la solución.

Aprendizajes

Estrategias para resolver ecuaciones exponenciales y sistemas de ecuaciones exponenciales:

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección encontramos soluciones de ecuaciones exponenciales en base usando logaritmos en base para deshacer la ecuación. Usamos tablas y gráficas como ayuda para determinar si las soluciones que encontramos son razonables. Resolvimos sistemas de ecuaciones de dos maneras: encontrando la intersección de las gráficas y encontrando el valor que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas.

Repaso

1.

Se muestran las gráficas de y (ambas con dominios restringidos) en el mismo plano de coordenadas.

a coordinate plane with the function f of x = 2 to the x power graphed between the points (-3,.125) and (3,8) and g of x = 2 to the -x power graphed between (-2,4) and (5,.031)x–5–5–5555y555101010000

a.

Haz una lista de las características de la función .

b.

Haz una lista de las características de .

2.

Usa la división larga para calcular . Muestra todos los pasos.

Escribe tu respuesta como un cociente y un residuo.