Lección 7 Los logaritmos se hacen virales Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Modelar el crecimiento y el decaimiento continuo usando funciones exponenciales en base .

Resolver ecuaciones exponenciales usando logaritmos naturales.

¿Cómo podemos resolver problemas de crecimiento y de decaimiento continuo que se modelan usando la base ?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Como aprendimos en la lección anterior, “El problema compuesto”, cuando el dinero se capitaliza continuamente, resulta que la base de la función exponencial de crecimiento es . Es verdad que básicamente todas las situaciones de crecimiento o de decaimiento continuo se pueden modelar con una función exponencial en base . Las fórmulas básicas son:

Crecimiento continuo:

Decaimiento continuo:

En ambos casos, es la cantidad de “cosas” que hay en el tiempo . es la cantidad de “cosas” con las que se comienza, es decir cuando , y es la tasa de crecimiento o de decaimiento. Entonces, si hablamos de dinero, y son cantidades de dólares. Si hablamos de una población, y son el número de personas de la población. Si hablamos de desintegración radioactiva, entonces y son la masa de la sustancia radioactiva. En otras palabras, es lo que teníamos al comienzo y es lo que tendremos después de que crece o decae.

Como hay muchas cosas que crecen o decaen continuamente en la naturaleza, se llama la función exponencial natural y el logaritmo en base se llama el logaritmo natural. Piensa en el crecimiento de las bacterias. Una célula se divide en dos células. Las dos células comienzan a dividirse y las células que se obtienen también se dividen, y así sucesivamente. En un grupo de muchas células, habrá una célula dividiéndose casi continuamente, entonces esta situación se modela con una función exponencial en base . De este modo, para usar la función exponencial en base y su inversa, imagina los siguientes escenarios:

Eres un epidemiólogo, una persona que estudia los brotes y la propagación de las enfermedades. Parte de tu trabajo es ayudar a evitar una pandemia (un brote mundial de una enfermedad). Sabes que algunas de las enfermedades más difíciles de enfrentar son las causadas por los virus. Estos no responden a muchos de los medicamentos que tenemos disponibles y son capaces de mutar y cambiar rápidamente, lo que hace que sea más difícil contenerlos. Has estado estudiando un nuevo virus que hace que a las personas les salgan manchas. De repente, un colega corre a tu oficina para informarte que hay un brote confirmado del virus en Europa. El crecimiento del virus en una población es continuo (hasta que se contenga de alguna manera) y crece a una tasa del por día. El brote actual tiene víctimas confirmadas.

1.

¿Cuántas personas estarán infectadas con el virus el día ?

2.

Crea un modelo de la propagación del virus en esta región si no se contiene. Para simplificar un poco tu modelo, piensa que las víctimas son el número de víctimas el día .

Tabla:

Ecuación:

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3.

Según tu modelo, ¿cuándo habrá víctimas? Muestra cómo llegaste a tu respuesta.

4.

¿El número de días en que habrá del virus será el doble del número de días en que hubo ? ¿Por qué sí o por qué no?

5.

Calcula el número de días en que habrá del virus.

6.

¿En qué día habrá ?

Ahora recibiste un reporte de una enfermedad misteriosa que parece convertir a los humanos infectados en zombis dementes. El virus apareció en una ciudad principal de Estados Unidos. Como los zombis hambrientos depredan personas inocentes, el brote crece continuamente con una tasa del por día. El brote comienza con .

7.

¿Cuántos zombis habrá después de ?

8.

¿Cuántos días tardará la población de zombis en alcanzar ? (Esta es aproximadamente la población de Los Ángeles, CA).

9.

¿Con qué tasa estaría creciendo la población de zombis si alcanzara (aproximadamente la población de Salt Lake City, Utah) en ?

Ahora vamos a exagerar un poco más el escenario. Digamos que los zombis producen una sustancia viscosa radioactiva que se desintegra continuamente con una vida media de . (Otro peligro de tener zombis por ahí). Esto quiere decir que después de , solamente queda la mitad de la cantidad de sustancia viscosa que había inicialmente.

10.

Si inicialmente tenemos de sustancia viscosa de los zombis, ¿cuánta quedará después de ?

11.

¿Cuánto tiempo tardará la cantidad inicial de sustancia viscosa de los zombis en desintegrarse hasta ser una cantidad menor que ?

12.

¿Cuándo no quedará más sustancia viscosa de los zombis?

¿Listo para más?

Grafica .

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Aprendizajes

Cómo resolver una ecuación exponencial que tiene una variable en el exponente:

Notación, convenciones y vocabulario

La inversa de es

es

Los logaritmos naturales se usan para

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección modelamos el crecimiento y el decaimiento continuo usando la fórmula dada por una función exponencial en base . Aprendimos a usar el logaritmo en base , llamado el logaritmo natural, para resolver ecuaciones exponenciales cuando la variable está en el exponente. El logaritmo natural se denota y en la mayoría de las calculadoras hay una tecla para esta función.

Repaso

1.

¿Cómo sabes que la gráfica de NO es la gráfica de ?

a coordinate plane with a quartic function opening upwards x–2–2–2–1–1–1111222y111222333444000

2.

Usa las propiedades de los logaritmos y los valores dados para encontrar el valor del logaritmo indicado.

Dado que: y

Encuentra: