Lección 1 Lógica logarítmica Desarrollo mi comprensión

Focos de aprendizaje

Encontrar valores exactos y estimados de algunos logaritmos.

Hacer conjeturas sobre las propiedades de los logaritmos.

¿Qué es un logaritmo?

¿Cómo podemos saber si una expresión logarítmica es mayor que otra?

¿Cómo podemos estimar los valores de los logaritmos?

¿Cómo se relacionan los logaritmos con los exponentes?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección “Sigámosle la pista a la tortuga”, pensamos en los logaritmos como las funciones inversas de las exponenciales. Sin embargo, las funciones logarítmicas son interesantes y útiles por sí mismas. En las siguientes actividades vamos a trabajar para entender las expresiones logarítmicas, las funciones logarítmicas y las operaciones logarítmicas en las ecuaciones.

Mostramos la relación de la inversa entre las funciones exponenciales y las logarítmicas usando un diagrama como este:

Podemos resumir esta relación así:

$2^{3} = 8$ entonces $\log_{2} 8 = 3$ .

Los logaritmos se pueden definir para cualquier base que esté asociada a una función exponencial. La base $10$ es muy común. Puedes usarla para escribir afirmaciones como estas:

$10^{1} = 10$ entonces $\log_{10} 10 = 1$ .

$10^{2} = 100$ entonces $\log_{10} 100 = 2$ .

$10^{3} = 1000$ entonces $\log_{10} 1000 = 3$ .

Aunque la notación parece diferente, puedes ver el patrón de la inversa, en el que las entradas y las salidas se intercambian. A las entradas también se les llama argumentos de la función.

Los siguientes problemas te van a dar la oportunidad de practicar tu razonamiento sobre este patrón y posiblemente hacer algunas conjeturas sobre otros patrones de los logaritmos.

1.

Ubica las siguientes expresiones en la recta numérica. Explica cómo supiste en qué lugar ubicar cada expresión.

$\log_{3} 3$
$\log_{3} 9$
$\log_{3} \frac{1}{3}$
$\log_{3} 1$
$\log_{3} \frac{1}{9}$

Explica:

Conjetura sobre las expresiones logarítmicas a partir del problema 1:

2.

$\log_{3} 81$
$\log_{10} 100$
$\log_{8} 8$
$\log_{5} 25$
$\log_{2} 32$

Explica:

Conjetura sobre las expresiones logarítmicas a partir del problema 2:

Haz una pausa y reflexiona

3.

$\log_{7} 7$
$\log_{9} 9$
$\log_{11} 1$
$\log_{10} 1$

Explica:

Conjetura sobre las expresiones logarítmicas a partir del problema 3:

4.

$\log_{2} (\frac{1}{4})$
$\log_{10} (\frac{1}{1000})$
$\log_{5} (\frac{1}{125})$
$\log_{6} (\frac{1}{6})$

Explica:

Conjetura sobre las expresiones logarítmicas a partir del problema 4:

5.

$\log_{4} 16$
$\log_{2} 16$
$\log_{8} 16$
$\log_{16} 16$

Explica:

Conjetura sobre las expresiones logarítmicas a partir del problema 5:

6.

$\log_{2} 5$
$\log_{5} 10$
$\log_{6} 1$
$\log_{5} 5$
$\log_{10} 5$

Explica:

Conjetura sobre las expresiones logarítmicas a partir del problema 6:

7.

$\log_{10} 50$
$\log_{10} 150$
$\log_{10} 1000$
$\log_{10} 500$

Explica:

Conjetura sobre las expresiones logarítmicas a partir del problema 7:

8.

$\log_{3} 3^{2}$
$\log_{5} 5^{- 2}$
$\log_{6} 6^{0}$
$\log_{4} 4^{- 1}$
$\log_{2} 2^{3}$

Explica:

Conjetura sobre las expresiones logarítmicas a partir del problema 8:

Con base en tu trabajo con las expresiones logarítmicas, determina si cada una de estas afirmaciones siempre es verdadera, a veces es verdadera o nunca es verdadera. Si la afirmación a veces es verdadera, describe las condiciones que la hacen verdadera. Explica tus respuestas.

9.

El valor de $\log_{b} x$ es positivo.

Explica:

10.

$\log_{b} x$ no es una expresión válida si $x$ es un número negativo.

Explica:

11.

$\log_{b} 1 = 0$ para cualquier base, $b > 0$ .

Explica:

12.

$\log_{b} b = 1$ para cualquier $b > 0$ .

Explica:

13.

$\log_{2} x < \log_{3} x$ para cualquier valor de $x$ .

Explica:

14.

$\log_{b} b^{n} = n$ para cualquier $b > 0$ .

Explica:

¿Listo para más?

Encuentra el valor de: $b^{\log_{b} n}$ .

¿Para qué valores de $b$ y de $n$ tu respuesta es correcta?

Aprendizajes

Propiedades de los logaritmos:

Vocabulario

argumento (entrada) de un logaritmo
base de un logaritmo
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección encontramos valores exactos y aproximados de algunas expresiones logarítmicas. Sacamos conclusiones sobre las propiedades de los logaritmos que siempre son verdaderas. También identificamos algunas características de las funciones logarítmicas que nos ayudarán a graficarlas en la próxima lección.

Repaso

1.

Se muestra la gráfica de $f (x) = 3^{x}$ . Hay unos puntos clave de la gráfica de $f (x)$ marcados. La gráfica verde, $g (x)$ , muestra una nueva gráfica que es una transformación de $f (x)$ .

a.

Hay tres puntos señalados en $g (x)$ . ¿Cuáles son las coordenadas de cada punto?

b.

Describe en palabras la transformación realizada a $f (x)$ que generó a $g (x)$ .

c.

Escribe la ecuación de $g (x)$ .

2.

Reescribe $\frac{24^{- 1}}{16^{- 1}}$ como un entero o una fracción simplificada a su mínima expresión.