Lección 2 ¿Será recto? Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

El segmento de recta que ves en la cuadrícula de coordenadas, que tiene extremos en $A (2, 6)$ y en $B (6, 2)$ , es un lado de un triángulo. Describe el triángulo que se forma si cada uno de los siguientes puntos es el tercer vértice $C$ del triángulo. (En tu descripción, usa palabras como agudo, obtuso, rectángulo, escaleno, isósceles y equilátero).

1.

Si $C (2, 4)$ es el tercer vértice del triángulo, entonces el triángulo es .

2.

Si $C (2, 2)$ es el tercer vértice del triángulo, entonces el triángulo es .

3.

Si $C (0, 0)$ es el tercer vértice del triángulo, entonces el triángulo es .

4.

Si $C (6, 6)$ es el tercer vértice del triángulo, entonces el triángulo es .

5.

Si $C (3, 2)$ es el tercer vértice del triángulo, entonces el triángulo es .

6.

Si $C (1, 2)$ es el tercer vértice del triángulo, entonces el triángulo es .

Focos de aprendizaje

Reconocer rectas paralelas y rectas perpendiculares en un plano de coordenadas.

¿Cómo puedo saber si dos rectas que están en un plano de coordenadas son paralelas o perpendiculares? ¿Basta analizarlas visualmente (es decir, que “parezcan serlo”)?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En la lección “Lagartijas saltarinas” probablemente pensaste mucho en rectas paralelas y rectas perpendiculares. Sobre todo cuando trasladaste los puntos guía de la lagartija la misma distancia y en la misma dirección, cuando rotaste la lagartija $90 °$ alrededor de un centro dado o cuando reflejaste la lagartija con respecto a una recta. Sería útil poder predecir cuándo las rectas de una cuadrícula de coordenadas son paralelas o perpendiculares entre sí.

1.

Analiza el diagrama y escribe afirmaciones que describan cuáles rectas son paralelas entre sí.

Mi lista de rectas paralelas:

¿Cómo supiste que estas rectas eran paralelas? (Aparte de simplemente pensar que “parecen ser paralelas”).

Puede que hayas escrito tus afirmaciones sobre las rectas paralelas usando frases como “La recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ es paralela a la recta que pasa por los puntos $H$ y $G$ ”. Podemos decir esta misma idea con símbolos.

Ya hicimos una observación acerca de las pendientes de las rectas paralelas. Ahora será útil hacer una observación acerca de las pendientes de las rectas perpendiculares. Tal vez en la lección “Lagartijas saltarinas” usaste un transportador u otra herramienta o estrategia que te ayudó a formar un ángulo recto. En esta actividad veremos cómo formar un ángulo recto teniendo en cuenta las pendientes en la cuadrícula de coordenadas.

Comencemos escribiendo una idea que será fundamental: las rectas horizontales y las rectas verticales son perpendiculares. Por ejemplo, en una cuadrícula de coordenadas, la recta horizontal $y = 2$ y la recta vertical $x = 3$ se intersecan y forman cuatro ángulos rectos.

Pero ¿qué pasa si una recta o un segmento de recta no es horizontal ni vertical? ¿Cómo encontramos la pendiente de una recta o de un segmento de recta que sea perpendicular a esta?

2.

Experimento 1

a.

Considera el punto $A (2, 3)$ , el punto $B (4, 7)$ y el segmento de recta $\overset{―}{A B}$ entre ellos. ¿Cuál es la pendiente de este segmento?

b.

Ubica y marca un tercer punto $C (x, y)$ en la cuadrícula de coordenadas de forma que los puntos $A (2, 3)$ , $B (4, 7)$ y $C (x, y)$ sean los vértices de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea $\overset{―}{A B}$ .

c.

Explica cómo sabes que el triángulo que formaste tiene un ángulo recto.

d.

Ahora rota este triángulo rectángulo $90 °$ alrededor del vértice que está en el punto $A (2, 3)$ . Explica cómo sabes que rotaste $90 °$ el triángulo.

e.

Compara la pendiente de la hipotenusa del triángulo rectángulo rotado con la pendiente de la hipotenusa de la preimagen. ¿Qué observas?

3.

Experimento 2

a.

Considera el punto $A (2, 3)$ , el punto $B (5, 4)$ y el segmento de recta $\overset{―}{A B}$ entre ellos. ¿Cuál es la pendiente de este segmento de recta?

b.

Ubica y marca un tercer punto $C (x, y)$ en la cuadrícula de coordenadas, para que los puntos $A (2, 3)$ , $B (5, 4)$ y $C (x, y)$ sean los vértices de un triángulo rectángulo que tenga a $\overset{―}{A B}$ como hipotenusa.

c.

Explica cómo sabes que el triángulo que formaste tiene un ángulo recto.

d.

Ahora rota este triángulo rectángulo $90 °$ alrededor del vértice que está en el punto $A (2, 3)$ . Explica cómo sabes que rotaste $90 °$ el triángulo.

e.

Compara la pendiente de la hipotenusa del triángulo rectángulo rotado con la pendiente de la hipotenusa de la preimagen. ¿Qué observas?

4.

Experimento 3

a.

Considera el punto $A (2, 3)$ , el punto $B (7, 5)$ y el segmento de recta $\overset{―}{A B}$ entre ellos. ¿Cuál es la pendiente de este segmento de recta?

b.

Ubica un tercer punto $C (x, y)$ en la cuadrícula de coordenadas, para que los puntos $A (2, 3)$ , $B (7, 5)$ y $C (x, y)$ sean los vértices de un triángulo rectángulo que tenga a $\overset{―}{A B}$ como hipotenusa.

c.

Explica cómo sabes que el triángulo que formaste tiene un ángulo recto.

d.

Ahora rota este triángulo rectángulo $90 °$ alrededor del vértice que está en el punto $A (2, 3)$ . Explica cómo sabes que rotaste $90 °$ el triángulo.

e.

Compara la pendiente de la hipotenusa del triángulo rectángulo rotado con la pendiente de la hipotenusa de la preimagen. ¿Qué observas?

5.

Experimento 4

a.

Considera el punto $A (2, 3)$ , el punto $B (0, 6)$ y el segmento de recta $\overset{―}{A B}$ entre ellos. ¿Cuál es la pendiente de este segmento de recta?

b.

Ubica un tercer punto $C (x, y)$ en la cuadrícula de coordenadas, para que los puntos $A (2, 3)$ , $B (0, 6)$ y $C (x, y)$ sean los vértices de un triángulo rectángulo que tenga a $\overset{―}{A B}$ como hipotenusa.

c.

Explica cómo sabes que el triángulo que formaste tiene un ángulo recto.

d.

Ahora rota este triángulo rectángulo $90 °$ alrededor del vértice que está en el punto $A (2, 3)$ . Explica cómo sabes que rotaste $90 °$ el triángulo.

e.

Compara la pendiente de la hipotenusa del triángulo rectángulo rotado con la pendiente de la hipotenusa de la preimagen. ¿Qué observas?

6.

Con base en los experimentos del 1 al 4, escribe una observación acerca de las pendientes de las rectas perpendiculares.

Aunque esta observación se base en pocos ejemplos específicos, ¿puedes escribir un argumento o una justificación de por qué esto siempre es verdadero?

Ahora que sabemos cómo identificar rectas perpendiculares en una cuadrícula de coordenadas, también podemos usar símbolos para indicar que dos rectas son perpendiculares.

¿Listo para más?

En los experimentos del 1 al 4, escribe las ecuaciones de las rectas que contienen la hipotenusa del triángulo original y la hipotenusa del triángulo rotado. Escribe cada ecuación en forma punto-pendiente y en forma pendiente-punto de intersección. Para la ecuación en forma punto-pendiente, usa el punto que está en el centro de la rotación. ¿Qué relaciones observas en estas ecuaciones?

Aprendizajes

Cuando trabajo con rectas en una cuadrícula de coordenadas:

Sé que las rectas son paralelas si .
Sé que las rectas son perpendiculares si.

Notación, convenciones y vocabulario

Puedo indicar que dos rectas son paralelas usando esta notación:

Al mostrar rectas paralelas en una cuadrícula de coordenadas, hemos dibujado imágenes para representar los siguientes términos que no hemos definido: punto, recta y plano. Estas son ideas abstractas, y no objetos concretos, porque:

A diferencia de una marca con el lápiz, un punto .
A diferencia de una raya de tinta, una recta .
A diferencia de un pedazo de papel, un plano .

Vocabulario

Teorema de Pitágoras
equilátero, triángulo equilátero
pendientes recíprocas opuestas (recíprocas negativas)
plano
punto
recta
rectas paralelas
rectas perpendiculares
segmento de recta
triángulo escaleno
triángulo isósceles, trapecio isósceles
ángulo agudo
ángulo obtuso / triángulo obtusángulo
ángulo recto
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos criterios para saber si dos rectas que están en un plano de coordenadas son paralelas o perpendiculares. También aprendimos la notación para indicar, al escribir, que las rectas son paralelas o perpendiculares.

Repaso

1.

Usa la cuadrícula de coordenadas para encontrar la longitud de cada lado del triángulo.

2.

Despeja la variable indicada en cada ecuación.

a.

$2 (x + 3) - 1 = 12 x$ (despeja $x$ )

b.

$2 (x + y) + 4 = 12 x$ (despeja $y$ )