Lección 2 ¿Ves lo que yo veo? Desarrollo mi comprensión
Focos de aprendizaje
Analizar las características de los diagramas para determinar la historia de cómo se construyeron.
Escribir un párrafo para demostrar una conjetura que surge cuando se analiza un diagrama.
¿Qué puedo aprender cuando analizo las características de un diagrama geométrico?
¿Qué suposiciones hago cuando interpreto las características de un diagrama?
¿Puedo contar la historia de un diagrama indicando qué característica se dibujó primero —pues las demás dependen de ella— y cuáles se dibujaron después?
¿Cómo puedo escribir una descripción concisa que justifique algo nuevo que observé mientras analizaba un diagrama?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
En la lección anterior, “¿Cómo sabes eso?”, vimos que el siguiente diagrama se podía construir rotando un triángulo alrededor del punto medio de dos de sus lados. El diagrama final sugiere que la suma de los tres ángulos de un triángulo es
Este diagrama “cuenta una historia”, porque muestra cómo se construyó mediante una secuencia de pasos. Incluso, puede que tú hayas seguido esos pasos.
A veces, tenemos que sacar una conclusión sobre el último diagrama de una secuencia de pasos. Puede que tengamos que reconstruir mentalmente los pasos que nos llevaron a este último diagrama, para convencernos de que es verdadera la afirmación que el diagrama quiere que veamos.
1.
Por ejemplo, dado que
2.
¿Qué te convence de poder hacer esta afirmación? ¿Qué suposiciones haces acerca de las otras figuras del diagrama, si haces alguna?
3.
¿Cuál es la secuencia de pasos que se siguió para llegar a este diagrama final?
4.
¿Qué puedes decir acerca de los triángulos, del cuadrilátero o de las diagonales del cuadrilátero que aparecen en el diagrama? Haz una lista de varias conjeturas que creas que son verdaderas.
Dado que:
5.
Estas son algunas de las conjeturas que podrías haber hecho mientras pensabas en la construcción del diagrama anterior. Escoge una de las siguientes afirmaciones y escribe un párrafo que convenza a tu pareja de que la afirmación es verdadera. Tu pareja trabajará en la otra afirmación. Después, juntos, ajusten y mejoren cada una de sus demostraciones.
a.
Los triángulos
b.
El cuadrilátero
6.
Con tu pareja, selecciona una de las siguientes conjeturas y escribe un párrafo que convenza a otra persona de que la conjetura es verdadera.
Los triángulos
, , y son triángulos congruentes. Los ángulos de la base de los triángulos isósceles del diagrama son congruentes.
Las diagonales del rombo se bisecan entre sí.
Las diagonales del rombo son perpendiculares.
Las diagonales del rombo bisecan los ángulos de los vértices.
Trabaja individualmente en el primer borrador de tu demostración durante 5 minutos. Piensa en la secuencia de afirmaciones que necesitas para contar tu historia de tal forma que alguien más pueda seguir los pasos y construir las imágenes que quieres que vea. Después, con tu pareja, ajusta y mejora tu demostración usando las recomendaciones dadas. Puede que se les pida que compartan su demostración con sus compañeros.
Nota: Como algunos de tus compañeros demostrarán la afirmación 6A, puedes usarla como una afirmación verdadera para demostrar cualquiera de las otras afirmaciones, de la 6B a la 6E.
¿Listo para más?
Ahora escoge otra afirmación de la 6A a la 6E, y escribe un párrafo que convenza a otra persona de que esta afirmación es verdadera. Puedes referirte a tu demostración anterior si crees que respalda la nueva historia que intentas contar.
Aprendizajes
Trabajar con diagramas es fundamental en el pensamiento geométrico.
Como cualquier otro texto, un diagrama lo escribe un autor y lo lee un lector, porque cada diagrama tiene el propósito de contar una historia.
Es decir, un diagrama:
Hoy usamos diagramas para demostrar teoremas sobre un triángulo isósceles específico. También sobre las diagonales de un rombo formado por la intersección de dos círculos que comparten un mismo radio (retomaremos estos teoremas en lecciones futuras para casos más generales). Estos fueron los teoremas:
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos que los diagramas se construyen paso a paso, y cada paso depende de los anteriores. Cuando podemos contar la historia de cómo se construyó el diagrama, también podemos identificar otras características del diagrama que podrían ser verdaderas y obtener información sobre cómo demostrar esas nuevas conjeturas. Hoy escribimos demostraciones en párrafos para comprobar que las cosas que observamos en un diagrama eran verdaderas.
Completa los siguientes enunciados con algo que tenga sentido. Prepárate para justificar tus respuestas.
1.
Si un triángulo es un triángulo rectángulo, entonces se puede aplicar el teorema para encontrar las longitudes de sus lados.
2.
Si se realiza una transformación rígida (una traslación, una rotación o una reflexión), entonces las partes correspondientes de la preimagen y la imagen serán .
3.
Si los triángulos son congruentes, entonces todas sus partes correspondientes son .
Realiza las transformaciones que se te indican.
4.
Traslada
5.
Rota el cuadrilátero