Lección 5 Paralelismo que se mantiene y no se altera Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
¿Cómo completarías la siguiente afirmación?
Dos rectas en un plano son paralelas si .
Intenta completar la afirmación de todas las formas que puedas.
Focos de aprendizaje
Determinar cuándo una recta será paralela a su preimagen después de una traslación, una rotación o una reflexión.
Construir un sistema geométrico a partir de definiciones, postulados y teoremas.
¿Qué tipos de transformaciones producen rectas que son paralelas a sus preimágenes?
¿En qué se diferencian las definiciones, los teoremas y los postulados? ¿Por qué necesitamos los tres?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
En la lección anterior, “¿Cómo sabes eso?”, tal vez te preguntaste cómo sabías que esta figura, que se formó al rotar un triángulo alrededor del punto medio de uno de sus lados, era un paralelogramo.
Posiblemente te resultó difícil explicar cómo sabías que los lados del triángulo original y los de su imagen rotada eran paralelos. No tuviste más opción que decir “Simplemente es así”. Siempre hay afirmaciones que tenemos que aceptar como verdaderas para convencernos de que otras afirmaciones son verdaderas. Intentamos que esta lista de afirmaciones sea siempre lo más reducida y lo más intuitivamente obvia posible.
Por ejemplo, en nuestro trabajo con transformaciones, acordamos que las transformaciones rígidas no cambian las longitudes de los lados ni las medidas de los ángulos. Nuestra experiencia con estas transformaciones sugiere que trasladar, rotar y reflejar las figuras no distorsiona las imágenes de ninguna manera. Asimismo, las transformaciones rígidas mantienen el paralelismo en una figura. Por ejemplo, si reflejamos un paralelogramo, la imagen sigue siendo un paralelogramo: los lados opuestos del cuadrilátero nuevo siguen siendo paralelos.
Los matemáticos llaman postulados a las afirmaciones que aceptamos como verdaderas sin demostrarlas. Y las afirmaciones que son respaldadas por justificaciones y demostraciones se llaman teoremas.
Saber que las rectas o segmentos de recta de un diagrama son paralelas suele ser un buen punto de partida para una cadena de razonamientos. Casi todas las descripciones de geometría incluyen un postulado de rectas paralelas entre la lista de afirmaciones que son aceptadas como verdaderas. En esta actividad, desarrollaremos algunos postulados de rectas paralelas para las transformaciones rígidas.
1.
Traslaciones
a.
¿Bajo qué condiciones los segmentos de recta correspondientes de una imagen y su preimagen son paralelos después de una traslación? Es decir, ¿con cuál palabra se completa mejor esta afirmación?
Después de una traslación, los segmentos de recta correspondientes de una imagen y su preimagen son paralelos.
A.
nunca
B.
a veces
C.
siempre
b.
Explica tu respuesta. Si escogiste “a veces”, explica claramente cómo saber cuándo los segmentos de recta correspondientes son paralelos y cuándo no, después de una traslación.
c.
A partir de este análisis, escribe un postulado de rectas paralelas para la traslación:
2.
Rotaciones
a.
¿Bajo qué condiciones los segmentos de recta correspondientes de una imagen y su preimagen son paralelos después de una rotación? Es decir, ¿con cuál palabra se completa mejor esta afirmación?
Después de una rotación, los segmentos de recta correspondientes de una imagen y su preimagen son paralelos.
A.
nunca
B.
a veces
C.
siempre
b.
Explica tu respuesta. Si escogiste “a veces”, explica claramente cómo saber cuándo los segmentos de recta correspondientes son paralelos y cuándo no, después de una rotación.
c.
A partir de este análisis, escribe un postulado de rectas paralelas para la rotación:
3.
Reflexiones
a.
¿Bajo qué condiciones los segmentos de recta correspondientes de una imagen y su preimagen son paralelos después de una reflexión? Es decir, ¿con cuál palabra se completa mejor esta afirmación?
Después de una reflexión, los segmentos de recta correspondientes de una imagen y su preimagen son paralelos.
A.
nunca
B.
a veces
C.
siempre
b.
Explica tu respuesta. Si escogiste “a veces”, explica claramente cómo saber cuándo los segmentos de recta correspondientes son paralelos y cuándo no, después de una reflexión.
c.
A partir de este análisis, escribe un postulado de rectas paralelas para la reflexión:
¿Listo para más?
Hemos desarrollado tres postulados de rectas paralelas para las tres transformaciones rígidas basándonos en la experimentación. Estos postulados pueden ser demostrados formalmente y tratados como teoremas. Demuestra con argumentos cada uno de los postulados de rectas paralelas que se exploraron en esta actividad.
Aprendizajes
Por medio de la experimentación, aceptamos que las siguientes observaciones son verdaderas:
Postulado de rectas paralelas para las traslaciones
Postulado de rectas paralelas para las rotaciones
Postulado de rectas paralelas para las reflexiones
Podemos reclasificar estas afirmaciones como teoremas, si / dado que:
Vocabulario
- definición
- equidistante
- postulado
- teorema
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos que un sistema geométrico incluye definiciones, postulados y teoremas. También desarrollamos postulados sobre el paralelismo para cada transformación rígida basándonos en experimentos. Estos nos ayudaron a determinar bajo qué condiciones las rectas correspondientes de la preimagen e imagen serán paralelas después de una traslación, una rotación o una reflexión.
1.
¿Qué son ángulos complementarios?
2.
Encuentra el complemento de cada uno de los ángulos.
a.
b.
c.
3.
¿Qué son ángulos suplementarios?
4.
Encuentra el suplemento de cada uno de los ángulos.
a.
b.
c.
5.
¿Todos los ángulos tienen un ángulo complementario y un ángulo suplementario? Explica.