Lección 4 Todo está en tu cabeza Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
1.
Dado el segmento
Construye un triángulo equilátero. El segmento
debe ser uno de sus lados. Construye la mediatriz del segmento
. Construye un triángulo isósceles. El segmento
debe ser su base.
2.
Si la base es el segmento
3.
¿Cómo se relaciona esta actividad con el teorema de la mediatriz que demostramos en la lección anterior?
Focos de aprendizaje
Usar diagramas de flujo para seleccionar y organizar secuencialmente las afirmaciones de una demostración.
Definir rectas y segmentos de recta relacionados con los triángulos: medianas, alturas, bisectrices y mediatrices.
Cuando muchas afirmaciones acerca de un diagrama son verdaderas, ¿cómo puedo identificar y organizar las que se necesitan para justificar una afirmación en particular?
Además de los segmentos de recta que forman los lados, ¿qué otras rectas y segmentos de recta son útiles para describir las características de un triángulo?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
En la lección anterior, se te pidió justificar algunas afirmaciones escribiendo párrafos sobre cómo se construyen distintas figuras y sobre cómo esas construcciones te demuestran que las afirmaciones son verdaderas. Tal vez te pareció difícil decir todo lo que sabías. A veces, a todos nos parece difícil explicar nuestras ideas, sacarlas de nuestra cabeza y escribirlas en papel.
Organizar las ideas y descomponer las relaciones complejas en partes más pequeñas puede hacer que la tarea de demostrar una afirmación sea más manejable. Una forma de hacerlo es usar un diagrama de flujo.
1.
¿Cuál es diferente?
Lee cada definición y analiza el diagrama correspondiente. Piensa en una razón por la que cada definición puede ser diferente de las otras tres.
En un triángulo, una altura es un segmento de recta perpendicular al lado opuesto (o a una prolongación del lado opuesto) que se traza desde un vértice.
En un triángulo, una mediana es un segmento de recta trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
En un triángulo, una bisectriz es un segmento de recta o rayo trazado desde un vértice y que corta el ángulo por la mitad.
En un triángulo, la mediatriz de un lado es una recta que se traza perpendicular al lado y que pasa por su punto medio.
Travis usó un compás y una regla para construir un triángulo equilátero. Después, dobló su diagrama por los dos puntos de intersección de los círculos para construir una recta de reflexión. Travis, Tehani, Carlos y Clarita intentan decidir cómo llamar al segmento de recta que va de
Travis piensa que el segmento de recta que construyeron también es una mediana del triángulo equilátero.
Tehani piensa que es una bisectriz.
Clarita piensa que es una altura.
Carlos piensa que es la mediatriz del lado opuesto.
Cada uno de los cuatro amigos intenta convencer a los otros de que tiene razón.
Un diagrama de flujo muestra afirmaciones que describen relaciones en el diagrama o conclusiones que se pueden hacer al conectar varias ideas. Vas a usar el diagrama de flujo para identificar las afirmaciones que cada uno de los estudiantes —Travis, Tehani, Carlos y Clarita— puede usar para exponer sus argumentos. Responde las siguientes preguntas sobre lo que necesita saber cada estudiante acerca de la recta de reflexión para justificar su afirmación.
2.
Para justificar su afirmación de que la recta de reflexión es una mediana del triángulo equilátero, Travis tendrá que mostrar que:
3.
Para justificar su afirmación de que la recta de reflexión es una bisectriz del triángulo equilátero, Tehani tendrá que mostrar que:
4.
Para justificar su afirmación de que la recta de reflexión es una altura del triángulo equilátero, Clarita tendrá que mostrar que:
5.
Para justificar su afirmación de que la recta de reflexión es la mediatriz de un lado del triángulo equilátero, Carlos tendrá que mostrar que:
A continuación, se muestra un diagrama de flujo con afirmaciones que describen relaciones en el diagrama o conclusiones que se pueden hacer al conectar varias ideas.
6.
Usa cuatro colores diferentes para identificar las afirmaciones que cada uno de los estudiantes —Travis, Tehani, Clarita y Carlos— puede usar para exponer sus argumentos.
7.
Marca cada una de las flechas y la llave del diagrama de flujo con una de las siguientes razones. La razón debe justificar por qué puedes hacer la conexión entre la afirmación (o afirmaciones) previamente aceptada como verdadera y la conclusión que le sigue:
1. Definición de reflexión
2. Definición de traslación
3. Definición de rotación
4. Definición de un triángulo equilátero
5. Definición de perpendicular
6. Definición de punto medio
7. Definición de altura
8. Definición de mediana
9. Definición de bisectriz
10. Definición de mediatriz
11. Los triángulos equiláteros se pueden doblar sobre ellos mismos con respecto a una recta de reflexión
12. Los triángulos equiláteros se pueden rotar
13. Criterio de congruencia de triángulos LLL
14. Criterio de congruencia de triángulos LAL
15. Criterio de congruencia de triángulos ALA
16. Las partes correspondientes de dos triángulos congruentes son congruentes
17. Propiedad reflexiva
Haz una pausa y reflexiona
Travis y sus amigos vieron a su profesor escribir demostraciones en dos columnas. En este tipo de demostraciones, las razones que justifican una afirmación se escriben en la columna de al lado. Travis decide escribir su argumento como una demostración en dos columnas, como se muestra a continuación.
Afirmaciones | Razones |
|---|---|
El triángulo | Ya está dada |
Los triángulos equiláteros se pueden doblar sobre ellos mismos con respecto a una recta de reflexión | |
Definición de reflexión | |
Definición de punto medio | |
Definición de mediana |
8.
Escribe cada uno de los argumentos de Clarita, Tehani y Carlos como una demostración en dos columnas.
a.
Demostración de Clarita:
b.
Demostración de Carlos:
c.
Demostración de Tehani:
¿Listo para más?
Haz un diagrama de flujo con todas las ideas y relaciones geométricas que puedas identificar en el siguiente diagrama. Después, elige una de las siguientes conjeturas y haz un diagrama de flujo para demostrar la conjetura que elegiste. En la demostración solo debes incluir la información necesaria para demostrar la conjetura.
Conjetura: El cuadrilátero es un rombo.
Conjetura: Las diagonales se bisecan entre sí.
Conjetura: Las diagonales son perpendiculares.
Conjetura: Las diagonales bisecan los ángulos de los vértices.
Aprendizajes
Puedo generar una “idea de demostración” usando un diagrama de flujo al:
Para terminar mi demostración en un diagrama de flujo, debo:
Notación, convenciones y vocabulario
En la lección anterior demostramos esta afirmación: “Si un punto está sobre la mediatriz de un segmento de recta, es equidistante de los extremos del segmento”.
En la “Actividad inicial” usamos este teorema cuando construimos , ya que dijimos que el tercer vértice del triángulo debía ser un punto sobre la mediatriz del segmento
Las afirmaciones de la forma “Si la afirmación
La recíproca de una afirmación condicional es de la forma
El recíproco del teorema con respecto a los puntos que están sobre la mediatriz, que demostramos en la lección anterior, se escribiría:
Si un punto es equidistante de los extremos de un segmento, entonces el punto está sobre la mediatriz del segmento.
En la “Actividad inicial” usamos este teorema cuando construimos , al decidir que el tercer vértice del triángulo fuera el punto de intersección de los dos círculos
Vocabulario
- afirmación condicional
- afirmación recíproca
- altura
- bisectriz
- demostración con un diagrama
- mediana de un triángulo
- mediatriz (o bisector perpendicular)
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección analizamos una herramienta nueva para identificar todas las relaciones que existen entre las partes de una figura geométrica: el diagrama de flujo. Después de identificar esas relaciones, podemos elegir aquellas que son necesarias para demostrar una afirmación en particular. Por esta razón, el diagrama de flujo es una herramienta que permite seleccionar y organizar secuencialmente las afirmaciones que se pueden usar para crear un argumento lógico y demostrar teoremas nuevos.
Indica si cada uno de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo, un rectángulo, un rombo, un cuadrado o ninguno de los anteriores.
1.
A.
paralelogramo
B.
rectángulo
C.
rombo
D.
cuadrado
E.
ninguno de los anteriores
2.
A.
paralelogramo
B.
rectángulo
C.
rombo
D.
cuadrado
E.
ninguno de los anteriores
3.
A.
paralelogramo
B.
rectángulo
C.
rombo
D.
cuadrado
E.
ninguno de los anteriores
4.
Después de una traslación, los puntos correspondientes de la imagen y la preimagen se unieron para formar segmentos de recta. ¿Qué será verdadero sobre los segmentos de recta que se formaron entre los puntos correspondientes? Haz un dibujo para mostrar tu respuesta.