Lección 7 Justificación y demostración Practico lo que aprendí

Actividad inicial

Dada la afirmación condicional: “Si llueve, las aceras están mojadas”.

1.

Escribe la recíproca de la afirmación condicional:

2.

Suponiendo que la afirmación condicional dada es verdadera (es decir, las aceras están expuestas a la lluvia), ¿la recíproca es una afirmación verdadera? Explica por qué sí o por qué no.

Focos de aprendizaje

Practicar cómo plasmar ideas de demostración en demostraciones escritas en diferentes formas.

¿Qué debo tener en cuenta al escribir una demostración formal?

¿De qué forma debo escribir las demostraciones: párrafo, dos columnas o diagrama de flujo? ¿Cómo me ayuda cada una de estas formas a justificar mis ideas?

¿A qué conocimientos puedo recurrir: transformaciones rígidas, criterios de congruencia de triángulos, álgebra?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

El diagrama de la lección “¿Cómo sabes eso?se extendió rotando una y otra vez los triángulos imagen alrededor de los puntos medios de sus lados hasta formar una teselación del plano, como se muestra en la figura.

En la lección anterior, usaste este diagrama para hacer algunas conjeturas acerca de las rectas, los ángulos y los triángulos. En esta actividad, vas a escribir demostraciones que te convenzan a ti y a otros de que esas conjeturas siempre son verdaderas.

A repeated pattern of a triangle with a green arc, blue arc, and red arc for each angle.

Para cada una de las siguientes conjeturas, escribe las demostraciones de la forma que quieras: un diagrama de flujo, una demostración en dos columnas, un párrafo o una demostración algebraica.

Ángulos opuestos

Cuando dos rectas se intersecan, los ángulos que se forman en el punto de intersección y que están uno frente al otro se llaman ángulos opuestos. En el diagrama, los ángulos y forman un par de ángulos opuestos.

Line BD and Line AC intersect at point E.

1.

Dado que: se intersecan en .

Demuestra que:

Ángulos externos de un triángulo

Cuando un lado de un triángulo se extiende, como en el diagrama, el ángulo que se forma en la parte externa del triángulo se llama un ángulo externo. Los dos ángulos del triángulo que no son adyacentes al ángulo externo se conocen como los ángulos internos no adyacentes. En el diagrama, el ángulo es un ángulo externo, y y son los dos ángulos internos no adyacentes.

A triangle with angles labeled 1-3. One side of the triangle extends forming exterior angle 4 that makes a linear pair with angle 3.

2.

Dado que: El ángulo es un ángulo externo del triángulo.

Demuestra que:

Rectas paralelas cortadas por una transversal

Cuando una recta interseca dos o más rectas, esa recta se llama una transversal. Cuando las otras rectas son paralelas entre sí, se forman relaciones especiales entre los ángulos. Para identificar esas relaciones, les damos nombres a determinados pares de ángulos que se forman cuando una transversal corta las rectas. En el diagrama, los ángulos y se llaman ángulos correspondientes, los ángulos y se llaman ángulos alternos internos, y los ángulos y se llaman ángulos internos del mismo lado.

Transversal line AB intersect lines EF and CD forming angles 1-8. 12345678

3.

Dado que:

Demuestra que: Los ángulos correspondientes y son congruentes.

4.

Dado que:

Demuestra que: Los ángulos alternos internos y son congruentes.

5.

Dado que:

Demuestra que: Los ángulos internos del mismo lado y son suplementarios.

6.

¿Qué estrategias parecen útiles para empezar una demostración?

¿Listo para más?

Demuestra el recíproco del teorema de los ángulos alternos internos y del teorema de los ángulos correspondientes:

1.

Dado que: Los ángulos alternos internos y son congruentes.

Demuestra que:

Transversal line AB intersect lines EF and CD forming angles 1-8. Point M lies on line AB. 12345678

2.

Dado que: Los ángulos correspondientes y son congruentes.

Demuestra que:

Aprendizajes

Hoy demostramos los siguientes teoremas:

Cuando una transversal corta rectas paralelas,

También demostramos los siguientes teoremas, que eran afirmaciones recíprocas de otros teoremas:

Algunas de mis estrategias para empezar una demostración son:

Algunas de las estrategias de mis compañeros son:

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección practicamos cómo escribir las demostraciones de las conjeturas que exploramos anteriormente. Demostramos varios teoremas útiles acerca de las relaciones que hay entre los ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal. Al igual que los criterios de congruencia de triángulos, estos teoremas sobre rectas paralelas serán útiles en demostraciones futuras.

Repaso

Usa un compás y una regla para construir cada figura.

1.

Construye un rombo. Usa el segmento como uno de sus lados y el ángulo dado como uno de sus ángulos.

Angle A with one side line segment AB and the other ray A.

2.

Construye la mediatriz del segmento de recta y la bisectriz del ángulo.

a.

A line segment.

b.

An angle.

3.

Find the value of and the measure of the missing angles.

A triangle with angles labeled 2x-18, 3x-12, and 40 degrees. Exterior angle B forms a linear pair with the angle labeled 40 degrees.