Lección 3 ¿Puedes decirlo con símbolos? Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
Un diagrama más para que lo analices.
Describe la secuencia de pasos que crees que se usó para construir este diagrama. Ten en cuenta que la primera figura es el inicio y la segunda figura es el final.
Focos de aprendizaje
Organizar en dos columnas y secuencialmente las afirmaciones de una demostración.
Analizar una afirmación acerca de los puntos que están sobre la mediatriz de un segmento de recta.
¿Cómo llevar un registro de todas las afirmaciones que se deben escribir en una demostración?
¿Cómo mantengo el orden de las afirmaciones de una demostración para que las ideas que deben establecerse primero vayan antes de las afirmaciones que requieren información previa?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Tia y Tehani hacen su tarea de matemáticas juntas. Uno de los problemas es demostrar la siguiente afirmación.
Demuestra que: Los puntos que están sobre la mediatriz de un segmento son equidistantes de los extremos del segmento.
Tia y Tehani piensan que este diagrama será útil para demostrar la afirmación, pero saben que aparte de describir cómo crear el diagrama tendrán que decir más cosas. Tia empieza describiendo las cosas que saben y Tehani intenta llevar un registro escribiendo notas en una hoja.
1.
En la tabla, registra con símbolos lo que Tehani podría haber escrito para anotar las afirmaciones de Tia. En los ejemplos dados, observa que Tehani incluye los símbolos de las rectas, los segmentos de recta y los puntos del diagrama. Así puede referirse a ellos de nuevo sin usar muchas palabras.
Notas de Tehani | Afirmaciones de Tia |
|---|---|
Dibujar el segmento | Tenemos que comenzar con el dibujo de un segmento y su mediatriz. |
Escoger cualquier punto | Necesitamos mostrar que cualquier punto que está sobre la mediatriz es equidistante de los dos extremos, así que puedo escoger cualquier punto que esté sobre la mediatriz. Llamémoslo |
Demostrar que: | Tenemos que mostrar que este punto está a la misma distancia de los dos extremos. |
Primera demostración: | Si supiéramos que los dos triángulos son congruentes, podríamos decir que el punto sobre la mediatriz está a la misma distancia de cada uno de los extremos. Entonces, ¿qué sabemos sobre los dos triángulos que nos permitiría decir que son congruentes? |
Sabemos que ambos triángulos tienen un ángulo recto. | |
Y sabemos que la mediatriz corta el segmento | |
Claramente, el segmento que va desde | |
Entonces, los triángulos son congruentes por el criterio de congruencia de triángulos LAL (lado-ángulo-lado). | |
Como los triángulos son congruentes, los segmentos | |
Cualquier punto | ¡Y eso demuestra que el punto |
2.
Tehani piensa que Tia es brillante, pero le gustaría que las ideas fluyeran mejor desde el comienzo hasta el final. Organiza las notas de Tehani de tal forma que otra persona pueda entender el argumento y ver las conexiones entre las ideas.
3.
¿Tu justificación será verdadera, independientemente del punto
Haz una pausa y reflexiona
4.
Puedes usar el teorema de Tia y Tehani, acerca de los puntos que están sobre la mediatriz de un segmento, para demostrar que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes. Escribe en un párrafo la demostración de cada una de las siguientes afirmaciones.
a.
El triángulo
b.
En el diagrama de Tia y Tehani, los ángulos de la base del triángulo isósceles,
c.
El diagrama de Tia y Tehani se puede aplicar en todos los triángulos isósceles.
¿Listo para más?
Escoge una o más de las demostraciones que escribiste en los problemas del 6A al 6E de la lección anterior, “¿Ves lo que yo veo?” y reescríbelas como demostraciones en dos columnas.
Aprendizajes
Escribir la historia de un diagrama y las conclusiones que se pueden sacar a partir de él es fundamental en las demostraciones geométricas.
Como cualquier otro texto, una demostración está escrita por un autor y necesita tener sentido para un lector. Por eso, debe construirse cuidadosamente.
Es decir:
Las demostraciones se pueden escribir de distintas formas. Hasta ahora hemos visto:
Hoy demostramos el teorema de la mediatriz:
También analizamos los detalles de una demostración sobre los ángulos de la base de un triángulo isósceles:
Notación, convenciones y vocabulario
La mediatriz (o bisector perpendicular) de un segmento es
Vocabulario
- demostración en dos columnas
- demostración, tipos: con diagramas, en dos columnas, en párrafos
- mediatriz (o bisector perpendicular)
- propiedades de la igualdad
- simétrica
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos a escribir demostraciones en dos columnas. Esta forma de demostración nos ayuda a llevar un registro de la organización lógica y de la secuencia de las afirmaciones. De esta manera, cada afirmación de la demostración se puede justificar teniendo en cuenta las afirmaciones anteriores. Además, demostramos una afirmación acerca de los puntos de la mediatriz de un segmento y otra afirmación acerca de los ángulos de la base de un triángulo isósceles.
En cada caso, determina cuál de los criterios de congruencia de triángulos se puede usar para demostrar que los triángulos son congruentes.
1.
2.
3.
4.
5.
Refleja la figura con respecto a la recta de reflexión dada.
6.
Encuentra la recta de reflexión con respecto a la cual se reflejó la preimagen para obtener la imagen.
¿Cuál es la ecuación de la recta?