Lección 7 Justificación y demostración Practico lo que aprendí

Prepárate

Construye las mediatrices de los dos segmentos. Asegúrate de mostrar los círculos que uses. Marca el ángulo recto y los dos segmentos congruentes que se crean.

1.

2.

Construye la bisectriz de los siguientes ángulos.

3.

4.

Usa las propiedades de las rectas paralelas cortadas por una transversal para determinar el valor de $x$ .

5.

6.

Alístate

7.

Para demostrar que los ángulos opuestos son congruentes, dos estudiantes presentaron sus ideas y ambos afirman que tienen razón. Analiza sus ideas y decide si ambos la tienen. Explica la lógica que usaron y qué piensas acerca de sus justificaciones.

Estudiante 1	Estudiante 2
$m ∠ 1 + m ∠ 2 = 180 °$ porque son un par lineal, $m ∠ 3 + m ∠ 2 = 180 °$ porque son un par lineal. Entonces, $m ∠ 1 + m ∠ 2 = m ∠ 3 + m ∠ 2$ por sustitución. Y entonces, $m ∠ 1 = m ∠ 3$ por la propiedad de la resta de la igualdad. Simplemente se quita $m ∠ 2$ en ambos lados. Esto muestra que los ángulos opuestos son congruentes.	Se puede rotar el ángulo $1$ para que quede sobre el ángulo $3$ . Como las líneas son rectas, sabemos que se forma un ángulo de $180$ grados. Entonces, rotar $180$ grados hará que las rectas vuelvan a quedar sobre ellas. Esto confirma que el ángulo $1$ quedará sobre el ángulo $3$ después de una rotación de $180$ grados.

Estudiante 1

Estudiante 2

$m ∠ 1 + m ∠ 2 = 180 °$ porque son un par lineal, $m ∠ 3 + m ∠ 2 = 180 °$ porque son un par lineal.

Entonces, $m ∠ 1 + m ∠ 2 = m ∠ 3 + m ∠ 2$ por sustitución.

Y entonces, $m ∠ 1 = m ∠ 3$ por la propiedad de la resta de la igualdad.

Simplemente se quita $m ∠ 2$ en ambos lados.

Esto muestra que los ángulos opuestos son congruentes.

Se puede rotar el ángulo $1$ para que quede sobre el ángulo $3$ .

Como las líneas son rectas, sabemos que se forma un ángulo de $180$ grados.

Entonces, rotar $180$ grados hará que las rectas vuelvan a quedar sobre ellas.

Esto confirma que el ángulo $1$ quedará sobre el ángulo $3$ después de una rotación de $180$ grados.

Explicación de su lógica y sus justificaciones:

8.

¿Cuál es la diferencia entre una conjetura matemática y una demostración matemática?

9.

Para demostrar que los ángulos alternos internos son congruentes, dos estudiantes presentaron sus ideas y ambos afirman que tienen razón. Analiza sus ideas y decide si ambos la tienen. Explica la lógica que usaron y qué piensas acerca de sus justificaciones.

Dado que: $\overset{\leftrightarrow}{B F} ∥ \overset{\leftrightarrow}{A D}$

Demuestra que: Los ángulos alternos internos $∠ 3$ y $∠ 6$ son congruentes.

Estudiante 1
$\overset{\leftrightarrow}{B F} ∥ \overset{\leftrightarrow}{A D}$	Está dada
$∠ 3 ≅ ∠ 2$	Ángulos opuestos
$∠ 6 ≅ ∠ 2$	Ángulos correspondientes
$∠ 3 ≅ ∠ 6$	Sustitución

Estudiante 2
Como $\overset{\leftrightarrow}{B F} ∥ \overset{\leftrightarrow}{A D}$ , a partir de los ángulos correspondientes sabemos que los ángulos $∠ 1$ y $∠ 5$ son congruentes. Entonces, $m ∠ 1 = m ∠ 5$ . Los ángulos $∠ 1$ y $∠ 3$ forman un par lineal, entonces $m ∠ 1 + m ∠ 3 = 180 °$ . Al sustituir tenemos, $m ∠ 5 + m ∠ 3 = 180 °$ . Los ángulos $∠ 5$ y $∠ 6$ forman un par lineal, entonces $m ∠ 5 + m ∠ 6 = 180 °$ . Esto significa que tenemos $m ∠ 5 + m ∠ 3 = m ∠ 5 + m ∠ 6$ . Y si se quita $m ∠ 5$ en ambos lados, se obtiene $m ∠ 3 = m ∠ 6$ , y por lo tanto, los ángulos alternos internos $∠ 3$ y $∠ 6$ son congruentes.

Estudiante 2

Como $\overset{\leftrightarrow}{B F} ∥ \overset{\leftrightarrow}{A D}$ , a partir de los ángulos correspondientes sabemos que los ángulos

$∠ 1$ y $∠ 5$ son congruentes. Entonces, $m ∠ 1 = m ∠ 5$ .

Los ángulos $∠ 1$ y $∠ 3$ forman un par lineal, entonces $m ∠ 1 + m ∠ 3 = 180 °$ .

Al sustituir tenemos, $m ∠ 5 + m ∠ 3 = 180 °$ .

Los ángulos $∠ 5$ y $∠ 6$ forman un par lineal, entonces $m ∠ 5 + m ∠ 6 = 180 °$ .

Esto significa que tenemos $m ∠ 5 + m ∠ 3 = m ∠ 5 + m ∠ 6$ .

Y si se quita $m ∠ 5$ en ambos lados, se obtiene $m ∠ 3 = m ∠ 6$ ,

y por lo tanto, los ángulos alternos internos $∠ 3$ y $∠ 6$ son congruentes.

Explicación de su lógica y sus justificaciones:

10.

Usa transformaciones para demostrar que en las rectas paralelas cortadas por una transversal los ángulos alternos internos que se forman son congruentes. Justifica lo que hagas.

Dado que: $\overset{\leftrightarrow}{B F} ∥ \overset{\leftrightarrow}{A D}$

Demuestra que: Los ángulos alternos internos $∠ 3$ y $∠ 6$ son congruentes.

11.

Dado que: $\overset{\leftrightarrow}{B F} ∥ \overset{\leftrightarrow}{A D}$

Demuestra que: Los ángulos internos del mismo lado $∠ 3$ y $∠ 5$ son suplementarios.

¡Vamos!

En cada diagrama, encuentra el valor de $x$ e indica cuánto miden los ángulos desconocidos.

12.

13.

14.

15.

16.

B.

suplementarios