Lección 3 ¡Tarta de pi, para mi, para ti! Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Los términos sector y longitud de arco se han usado en lecciones anteriores. Como estos son el foco de la lección de hoy, repasemos sus significados.

Resalta y marca un sector y una longitud de arco en el siguiente diagrama.

Circle with inscribed hexagon divided into six sections.

Wendell sombreó una porción del diagrama. Quiere saber si esta región tiene un nombre. Su profesor le dice que esa región se llama un segmento de un círculo.

Circle with inscribed hexagon divided into six sections.

Focos de aprendizaje

Encontrar fórmulas de la longitud de arco y el área de un sector circular.

A todos nos gustan las tartas, pero ¿cómo podemos averiguar qué porción de la tarta comemos cuando tomamos el pedazo más grande?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Los estudiantes planean realizar actividades para celebrar el Día de Pi en su escuela. Hay concursos de comer tartas y de “entartar” a sus profesores favoritos.

El club de matemáticas planea vender pedazos de tarta durante el almuerzo. Los miembros del club hornearon tartas, pero lo hicieron en tamaños y formas de sartenes diferentes. Algunos usaron sartenes redondas de de diámetro, otros usaron sartenes redondas de de diámetro, otros usaron sartenes cuadradas de y un estudiante usó una sartén de . Ellos planean cobrar lo mismo por cada pedazo de tarta, sin importar de qué sartén venga. Se preguntan cómo partir las tartas para que todos los pedazos tengan aproximadamente el mismo tamaño.

Después de discutir mucho, los miembros del club deciden partir las tartas redondas de en pedazos iguales (o sectores, como los llaman los miembros del club de matemáticas), partir las tartas redondas de en pedazos iguales, partir las tartas de en rectángulos de y partir la tarta de en rectángulos de . Aunque todos los pedazos se ven del mismo tamaño, algunos estudiantes creen que puede haber una ventaja al comprar un tipo de pedazo en vez de otros.

1.

¿Cuál es el pedazo de tarta más grande?, ¿cuál es el más pequeño? ¿Cómo lo sabes?

Desafortunadamente, no todos los miembros del club de matemáticas son buenos para identificar a simple vista sectores del mismo tamaño al cortar tartas redondas. Por eso, se decide que uno de los estudiantes hará un “control de calidad”. Se le da un transportador y se le pide que rechace cualquier pedazo cuyo ángulo sea de más o menos que la medida exacta del ángulo.

2.

Según este criterio, ¿cuál es el área más pequeña posible y el área más grande posible de un pedazo que se puede escoger de una tarta hecha en una sartén de ?

3.

Según este criterio, ¿cuál es el área más pequeña posible y el área más grande posible de un pedazo que se puede escoger de una tarta hecha en una sartén de ?

El estudiante que está a cargo del control de calidad concluye que es demasiado difícil medir el ángulo de un sector de la tarta en grados. Él sugiere que se corte un pedazo de cuerda para medir la longitud alrededor del borde exterior de la tarta para que los meseros sepan por dónde partir.

4.

¿Cuál debe ser la longitud de esta cuerda si queremos medir el arco de un pedazo de la tarta redonda de ?

5.

¿Cuál debe ser la longitud de esta cuerda si queremos medir el arco de un pedazo de la tarta redonda de ?

Haz una pausa y reflexiona

A Wendell le gusta mucho la tarta. Ofreció pagar el doble del precio por un pedazo que con seguridad tenga al menos de la tarta.

6.

¿Cuál es la medida en grados del sector más pequeño de la tarta redonda de que satisfará los antojos de Wendell?

7.

¿Cuál debe ser la longitud de la cuerda si queremos medir el arco exterior de este sector?

8.

¿Cuál es la medida en grados del sector más pequeño de la tarta redonda de que satisfará los antojos de Wendell?

9.

¿Cuál debe ser la longitud de la cuerda si queremos medir el arco exterior de este sector?

10.

El ángulo de un sector de una tarta redonda de mide . ¿Cuál es el área del sector? ¿Cuál es su longitud de arco?

¿Listo para más?

Wendell observa que muchas personas desperdician parte de la masa de la tarta —la parte favorita de Wendell—. Él quiere vender tartas que tengan forma de polígono regular. Para esto, él recorta los segmentos y se los come. Quiere saber cuánto quita de la tarta al hacer esto.

Circle with inscribed hexagon divided into six sections.

Escribe una fórmula que Wendell pueda usar para encontrar el área de un segmento de la tarta que dependa de su radio y del tipo de polígono de lados que se forma al partir los segmentos de la tarta.

Aprendizajes

Las fórmulas de la longitud de arco y el área del sector circular de radio que tiene un ángulo central de son:

Longitud de arco =

Área del sector circular =

Notación, convenciones y vocabulario

Define cada una de las siguientes partes de un círculo:

Un sector de un círculo es

Una longitud de arco es

Un segmento de un círculo es

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección encontramos una relación entre la longitud de arco y el área del sector circular encerrado por el arco y los dos radios del círculo que van hasta los extremos del arco.

Repaso

Right Triangle with AB =38, CB = 19, and AC = 19radical3

1.

Encuentra las razones trigonométricas.

2.

Encuentra la medida del ángulo A.