Lección 8 Cavalieri al rescate Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Aplicar el principio de Cavalieri a figuras de dos y tres dimensiones.

¿Cómo se encuentra el volumen de prismas, cilindros, pirámides y conos “inclinados”, como la torre inclinada de Pisa?

¿Cómo soluciona el principio de Cavalieri el problema de justificar las fórmulas del volumen de las pirámides que no tienen bases cuadradas y la fórmula del volumen de un cono?

¿Cómo se deduce la fórmula del volumen de una esfera?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Tacen, Jacklyn y Jacob juegan un juego de geometría. En este, cada jugador escoge un punto $C$ en el segmento de recta $\overset{―}{M N}$ , que es paralelo al segmento $\overset{―}{A B}$ . Los puntos $A$ , $B$ y $C$ forman los vértices de un triángulo. Gana el jugador que construya el triángulo con la mayor área.

Tacen ubica su punto en $C_{1}$ , Jacklyn en $C_{2}$ y Jacob en $C_{3}$ . Ellos discuten sobre sus elecciones antes de calcular el área de cada triángulo para saber quién ganó.

Tacen: “Para escoger mi punto, intenté estirar el triángulo hacia la izquierda lo máximo posible para así encerrar la mayor cantidad de área”.

Jacklyn: “Pensé que lo mejor era construir un triángulo isósceles que fuera simétrico respecto a su altura, así que escogí un punto del segmento $\overset{―}{M N}$ justo encima del punto medio del segmento $\overset{―}{A B}$ ”.

Jacob: “Pensé que un triángulo rectángulo sería el más grande posible por ser la mitad de un rectángulo”.

1.

Sin hacer cálculos, ¿quién crees que construyó el triángulo con la mayor área?

2.

Si participaras en el juego junto con Tacen, Jacklyn y Jacob, ¿dónde ubicarías tu punto $C$ ? Marca un punto en el segmento $\overset{―}{M N}$ que represente tu mejor estimación. Si crees que el triángulo más grande se forma con un punto que ya se escogió, puedes marcar tu punto en esa misma posición.

3.

Es hora de decidir quién ganó el juego. Toma las medidas que se necesiten y haz los cálculos para encontrar al ganador. ¿De quién es la estrategia ganadora?

Al principio, Tacen, Jacklyn y Jacob se sorprendieron con los resultados. Se preguntaban por qué las imágenes del triángulo eran tan engañosas y empezaron a cuestionar sus cálculos.

Tacen sugirió un experimento: dibujó algunos segmentos de recta en cada triángulo de forma que cada segmento fuera paralelo a la base del triángulo, $\overset{―}{A B}$ . Además, dibujó los segmentos correspondientes en los distintos triángulos a la misma distancia de la base, como se muestra en el diagrama.

Después, Tacen midió los distintos segmentos de recta correspondientes.

4.

Completa el experimento de Tacen midiendo los distintos segmentos de recta correspondientes. ¿Qué observas? ¿Qué parece indicar esto sobre las áreas de los triángulos? ¿Por qué?

Jacklyn dijo: “Parece que estás pensando que cada triángulo está hecho de muchas capas o rebanadas”.

Jacob, inspirado en el comentario de Jacklyn, sacó del bolsillo varias monedas de un centavo, las apiló y formó un cilindro. “Puedo calcular el volumen de esta pila de monedas con la fórmula $V = B h$ . Pero ¿qué ocurre si inclino la pila para que se parezca a la torre inclinada de Pisa? ¿Cómo puedo descifrar cuánto espacio ocupan las monedas ahora?”.

Tacen y Jacklyn sonrieron. Pensaban que era ingeniosa esta manera en la que Jacob ilustró esta idea nueva. Estaban emocionados y le contaron a su profesor de geometría sobre su descubrimiento y el principio de Jacob. Se sorprendieron al escuchar que Jacob no era la primera persona que pensaba en este principio, que ya tenía un nombre: el principio de Cavalieri.

5.

Indica con tus propias palabras cuál crees que es el principio de Cavalieri teniendo en cuenta el experimento del triángulo y la demostración de la pila de monedas.

Intenta otro experimento con el principio de Cavalieri. De nuevo, la recta $M N$ es paralela al segmento de recta $\overset{―}{A B}$ . Mide la longitud del segmento $\overset{―}{A B}$ y después marca un segmento congruente $\overset{―}{C D}$ en cualquier parte de la recta $M N$ . Une los extremos de $\overset{―}{A B}$ con los extremos de $\overset{―}{C D}$ . Se formará un paralelogramo. Marca otro segmento $\overset{―}{E F}$ en la recta $M N$ de forma que $\overset{―}{E F}$ también sea congruente con $\overset{―}{A B}$ . Une los extremos de $\overset{―}{A B}$ con los extremos de $\overset{―}{E F}$ . Se formará otro paralelogramo.

6.

Usa estos dos paralelogramos no congruentes para ilustrar el principio de Cavalieri. ¿Qué puedes decir sobre las áreas de estos dos paralelogramos? ¿Cómo te puedes convencer de que esto es verdadero?

La demostración de Jacob con las monedas de un centavo convenció a Tacen y Jacklyn de que el volumen de un prisma o cilindro circular en el que las rebanadas paralelas no están una justo encima de otra es el mismo que el volumen del prisma recto o cilindro circular recto correspondientes que tiene la misma base y altura. Buscaron en internet y aprendieron que estos tipos de sólidos que no son rectos se llaman prismas oblicuos, pirámides oblicuas, cilindros oblicuos y conos oblicuos.

Tacen también encontró esta información: “Si dos sólidos tienen la misma altura y las secciones que se obtienen con cortes paralelos a igual distancia de sus bases tienen siempre la misma área, entonces los dos sólidos tienen el mismo volumen”.

Tacen concluyó que esto significa que las secciones correspondientes solo necesitan tener la misma área. No es necesario que tengan la misma forma.

7.

En la lección anterior se demostró que el volumen de una pirámide que tiene base cuadrada es $V = \frac{1}{3} B h$ , en donde $B$ es el área de la base cuadrada y $h$ es la altura. Recuerda la versión del principio de Cavalieri que Tacen encontró en internet. ¿Cómo puedes usarla para demostrar que el volumen de una pirámide que tiene cualquier polígono como base es $V = \frac{1}{3} B h$ , en donde $B$ es el área de la base y $h$ es la altura?

8.

Considera un cono de altura $h$ y cuya base es un círculo de radio $r$ . ¿Cómo podrías usar el principio de Cavalieri para demostrar que el volumen del cono es $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ ?

9.

A partir del siguiente diagrama, muestra que las secciones transversales correspondientes que están a la misma distancia vertical de la base inferior del cilindro y del ecuador de la esfera tienen la misma área. Esto implica que el volumen de la parte superior de la esfera es igual que el volumen del cilindro menos el volumen del cono. Usa esta información para deducir la fórmula del volumen de una esfera.

¿Listo para más?

Jacklyn y Jacob encuentran animaciones y actividades interesantes en internet que les dan más ideas sobre el principio de Cavalieri y los volúmenes de las pirámides y conos oblicuos. Se dan los enlaces a estos recursos para que puedas explorarlos por tu cuenta. Cada estudiante escribió un resumen corto sobre los recursos.

Jacob encontró una aplicación de GeoGebra que le ayuda a visualizar por qué todas las pirámides rectas y las pirámides oblicuas que tienen la misma base (es decir, bases congruentes) y la misma altura también tendrán el mismo volumen: https://openup.org/6pW1S9. También encontró una aplicación que le ayuda a entender la deducción de la fórmula del volumen de una esfera: https://www.geogebra.org/m/a9jQQQFz

1.

Resume lo que aprendiste al explorar las aplicaciones de Jacob.

Jacklyn encuentra un video que le ayuda a visualizar la idea de acercarse a un límite para demostrar que el volumen de una pirámide que tiene una base cuadrada es $\frac{1}{3} B h$ .

Ella se sorprende: las matemáticas de esta lección le recuerdan las matemáticas de la lección 2, solo que acá están en un contexto de tres dimensiones. https://openup.org/H0geF8

2.

Resume lo que aprendiste al analizar el video de Jacklyn.

Aprendizajes

Para encontrar el volumen de una pirámide o un cono:

Para encontrar el volumen de una esfera:

En tus propias palabras, explica el principio de Cavalieri lo mejor que puedas para que los demás lo entiendan. Puedes incluir una ilustración como ayuda para apoyar tu descripción.

Versión en dos dimensiones:

Versión en tres dimensiones:

Vocabulario

cilindro: recto, oblicuo
cono: recto, oblicuo
principio de Cavalieri
prisma: recto, oblicuo
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos sobre el principio de Cavalieri. Este se puede usar como herramienta para deducir las fórmulas del volumen de los prismas oblicuos, las pirámides oblicuas, los conos oblicuos y las esferas.

Repaso

1.

Define qué es una cometa. Para esto, responde las siguientes preguntas.

a.

¿Cuántos lados tiene?

b.

¿Qué lados son congruentes ( $≅$ )?

c.

¿Qué lados son paralelos ( $∥$ )?

d.

¿Cuántos ángulos ( $∠$ ) son congruentes ( $≅$ )?

2.

Decide si los dos sólidos son semejantes, congruentes (pero no semejantes) o ninguna de las anteriores. Justifica tu respuesta.

semejantes

congruentes

ninguna de las anteriores