Lección 2 De los polígonos a los círculos Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
1.
Representa cada una de las siguientes situaciones con una tabla, una gráfica y una ecuación:
a.
Tu familia planea hacer un viaje pronto. Te detienes en la gasolinera para tanquear el automóvil. Observas que el surtidor bombea la gasolina a una tasa de
b.
Ya estás en la carretera y fijas el control de velocidad a
c.
Observas que a esta velocidad, la eficiencia de combustible de tu automóvil es de
2.
¿Qué tienen en común todos estos problemas?
Focos de aprendizaje
Relacionar la circunferencia y el área de los círculos con el perímetro y el área de los polígonos regulares.
¿Cómo se obtienen
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Parte 1: Del perímetro a la circunferencia
En la lección anterior, “El diseño de un kiosco”, desarrollaste una estrategia para encontrar el perímetro de un polígono regular de
1.
Explica cómo obtuvo Tehani su fórmula. Usa su diagrama como ayuda.
2.
Como
3.
¿Qué pasa a medida que el número de lados del polígono,
4.
Escribe una fórmula de la circunferencia de un círculo a partir de la fórmula de Tehani del perímetro de un polígono regular de
Parte 2: Del área de un polígono al área de un círculo
Área: Estrategia #1
La fórmula de Tehani del área de un polígono regular de
5.
Explica en detalle cómo obtuvo Tehani esta fórmula. Puedes consultar el diagrama de Tehani del problema 1.
6.
Travis sugiere reescribir la fórmula de Tehani en la forma
7.
A medida que el número de lados del polígono,
8.
Escribe una fórmula del área de un círculo a partir de la fórmula de Tehani del área de un polígono regular de
Área: Estrategia #2
Un círculo se puede descomponer en un conjunto de anillos delgados y concéntricos, como se muestra al lado izquierdo del siguiente diagrama. Al desenrollar los anillos y apilarlos, obtenemos una figura que se aproxima a un triángulo, como se ve.
9.
Describe la altura de este “triángulo” con respecto al círculo.
10.
Describe la longitud de la base de este “triángulo” con respecto al círculo.
11.
A medida que los anillos se hacen cada vez más angostos, la figura “triangular” se parece cada vez más a un triángulo exacto que tiene la misma área del círculo. ¿Qué parece indicar este diagrama sobre la fórmula del área de un círculo?
Área: Estrategia #3
Un círculo se puede descomponer en un conjunto de sectores congruentes. Como se muestra en el diagrama, podemos reorganizar estos sectores para obtener una figura que se aproxima a un paralelogramo.
12.
Describe la altura de este “paralelogramo” con respecto al círculo.
13.
Describe la longitud de la base de este “paralelogramo” con respecto al círculo.
14.
A medida que descomponemos el círculo en más y más sectores, el “paralelogramo” se parece cada vez más a un paralelogramo exacto que tiene la misma área del círculo. ¿Qué parece indicar este diagrama sobre la fórmula del área de un círculo?
¿Listo para más?
1.
a.
Completa la siguiente tabla del área de varios círculos usando la fórmula que se dedujo en la sección “Exploración”:
b.
Grafica
c.
Grafica
2.
¿El área de un círculo es proporcional al radio? ¿Por qué sí o por qué no?
3.
¿Por qué tiene sentido decir que
Aprendizajes
El perímetro de un polígono regular es proporcional al diámetro del círculo en el que está inscrito.
La constante de proporcionalidad
A medida que el número de lados de un polígono regular inscrito en un círculo aumenta, el perímetro del polígono
Esto nos lleva a descubrir la fórmula de la circunferencia del círculo:
Por un razonamiento similar, a medida que el número de lados de un polígono regular inscrito en un círculo aumenta, el área del polígono
Esto nos lleva a descubrir la fórmula del área del círculo:
Vocabulario
- convergencia
- límite (convergencia)
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
Anteriormente, aprendimos las fórmulas de la circunferencia y del área de un círculo, y las usamos en problemas de aplicación. En esta lección aprendimos cómo se obtienen estas fórmulas. También nos hicimos una mejor idea de por qué
1.
Encuentra el perímetro y el área de la figura.
(Supón que el diámetro del cono es igual al diámetro del helado).
2.
Usa el círculo dado para encontrar las medidas que se indican.
a.
la circunferencia total del círculo
b.
la fracción de la circunferencia correspondiente al sector marcado
c.
la longitud de arco más corta
(El arco más corto de