Lección 9 Sumemos castillos de arena Consolido lo que aprendí
Actividad inicial
1.
Encuentra la suma de los primeros 5 términos de esta sucesión geométrica. Muestra todo lo que hiciste.
2.
Escribe una ecuación explícita de los términos de la sucesión geométrica del problema 1.
3.
¿Aproximadamente cuál crees que sería la suma de los primeros
Focos de aprendizaje
Encontrar la suma de una sucesión geométrica.
¿Cómo puedo sumar los términos de una sucesión geométrica de manera eficiente sin tener que sumarlos de uno en uno?
¿Cómo puedo diseñar una torre de cubos apilados en la que el volumen aumente de manera geométrica y el volumen total sea igual a un valor predeterminado?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Benji, Chau y Kassandra quieren poner a prueba sus diseños del castillo de arena usando modelos en plastilina. Cada parte del castillo se puede moldear por separado. Después, las partes se pueden ensamblar para crear un modelo que pueden llevar a la competencia de esculturas de arena.
Ellos deciden que el castillo tendrá una torre hecha de cubos apilados. La longitud de lado de cada cubo será el doble de la longitud de lado del cubo que está justo encima de él.
1.
Se decide que el primer cubo (el de más arriba) tendrá una longitud de lado de
Benji, Chau y Kassandra no han decidido cuántos cubos va a tener la torre.
2.
Usando la información dada, escribe una expresión de la longitud de lado del
Benji recuerda que necesitan calcular el volumen de la arena que usarán para construir la torre de cubos apilados. Él sugiere que primero calculen el volumen de una torre que tiene
3.
Encuentra la suma de los volúmenes de los primeros
a.
Muestra todos tus cálculos.
b.
Representa la suma usando notación de suma.
Chau cree que el cubo de
4.
Encuentra la suma de los volúmenes de los
a.
Muestra todos tus cálculos.
b.
Representa la suma usando notación de suma.
Los amigos todavía no han decidido cuántos cubos incluir en la torre. Por eso, Kassandra quiere encontrar una fórmula para calcular el volumen total de arena sin tener que sumar los volúmenes de cada cubo por separado. Los cálculos de Benji y Chau le ayudan a pensar en esto. Kassandra representa la suma de
5.
Usa el diagrama para explicar por qué la siguiente afirmación de Kassandra es verdadera: “El volumen de arena que hay en
6.
Encuentra una expresión equivalente a
7.
Usando la expresión que encontraste en el problema 6, junto con el hecho de que
8.
Comprueba que tu fórmula es válida para la suma de los volúmenes de los cuatro cubos de la torre de Benji.
Haz una pausa y reflexiona
Benji cree que los cubos crecen demasiado rápido y que eso le resta atractivo al diseño de la torre. Por eso, propone que el primer cubo, abajo en la base, tenga
9.
Si el cubo de más abajo tiene un volumen de
10.
Usando la información dada, escribe una expresión del volumen del
Chau cree que el volumen del cubo de más abajo es demasiado grande. Propone crear una torre que en la base tenga el segundo cubo que está en la torre de Benji.
11.
Encuentra una fórmula de la suma de los volúmenes de los primeros
12.
Encuentra una fórmula general de la siguiente suma de términos:
13.
Diseña una torre de cubos que tenga entre
¿Listo para más?
Desde su primer cumpleaños, los padres de Benji han depositado
Inmediatamente después de que sus padres hagan el depósito número 21 (el día que cumpla 21 años), Benji planea retirar todo el dinero de la cuenta para el pago inicial de un automóvil.
a.
Si Benji retira todo el dinero de la cuenta en su cumpleaños número 21, ¿cuánto dinero de la cantidad total proviene de los
b.
¿Cuánto dinero de la cantidad total proviene de los
c.
¿Cuánto dinero de la cantidad total proviene de los
d.
¿Cuánto dinero de la cantidad total proviene de los
e.
¿Cuánto dinero hay en la cuenta de Benji en su cumpleaños número 21?
Aprendizajes
La suma de
en donde
Notación, convenciones y vocabulario
La notación de suma se puede usar para representar la suma de una sucesión de términos.
Por ejemplo, la suma
Si los términos que se suman forman una sucesión geométrica, entonces la suma de los términos se llama una .
Vocabulario
- notación de suma
- serie geométrica
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos cómo encontrar la suma de los términos de una sucesión geométrica sin tener que sumar los términos de la sucesión de uno en uno.
1.
Una pelota se golpea hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de
El valor de
2.
Demuestra que
3.
Demuestra que