Lección 8 Área de triángulos con trigonometria Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Aplicar la ley de los cosenos y la ley de los senos para resolver problemas.

¿Cómo puedo encontrar el área de un triángulo cuando no sé la longitud de la base ni la de la altura?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Encuentra el área de los dos triángulos siguientes. Para encontrar la información necesaria, usa cualquiera de las estrategias o los procedimientos que hayas usado antes:

  • trazar una altura y usarla como recta auxiliar

  • usar trigonometría

  • usar el teorema de Pitágoras

  • usar la ley de los senos o la ley de los cosenos para encontrar la información necesaria

1.

Encuentra el área de este triángulo.

Triangle ABC with Angle A 36 degrees, angle B 68 degrees and CB = 12

2.

Encuentra el área de este triángulo.

Triangle ABC with AB = c, BC = a, AC = b.

Jumal y Jabari están ayudando al papá de Jumal en un proyecto de construcción. Él necesita construir un marco triangular. Esta pieza se usará en todo el proyecto, pero no le han dado toda la información que necesita para cortar y unir los lados del marco. Incluso le cuesta imaginar la forma del triángulo a partir de la información que le han dado.

Esta es la información que le dieron al papá de Jumal sobre el triángulo.

  • Lado

  • Lado

  • Ángulo

El papá de Jumal les pidió a Jumal y Jabari que lo ayudaran a encontrar la medida de los otros dos ángulos y la longitud del otro lado de este triángulo.

3.

Usa la estrategia de cada estudiante como está descrita abajo. Después, dibuja un diagrama que muestre la forma y las dimensiones del triángulo que el papá de Jumal debe construir. (Nota: El nivel de exactitud de las medidas debe ser el adecuado con respecto a la información dada).

a.

Estrategia de Jumal

Usar la ley de los senos para encontrar la medida del ángulo .

b.

Encontrar la medida del tercer ángulo, .

c.

Usar la ley de los senos para encontrar la medida del lado .

d.

Dibujar el triángulo.

e.

Estrategia de Jabari

Usar la ley de los cosenos para encontrar la medida de .

f.

A Jabari le sorprende que esta estrategia lo lleve a una ecuación cuadrática, que él resuelve con la fórmula cuadrática. Está aún más sorprendido cuando encuentra dos soluciones razonables para la longitud del lado .

Dibuja ambos triángulos posibles y usa la ley de los senos para encontrar las medidas desconocidas de los dos ángulos de cada triángulo.

4.

En una ciudad planean comprarle a un granjero un terreno triangular para construir un parque. Necesitan determinar el área del terreno para ofrecerle un precio justo. (Por lo general, los terrenos se venden por acres, y ). En el diagrama se muestran las medidas dadas por los topógrafos. Usa esta información para calcular el área del terreno, en acres.

Triangle ABC with AB = 660 ft, BC = 720 ft, AC = 880 ft.

¿Listo para más?

El siguiente diagrama muestra dos triángulos diferentes con las mismas medidas de dos lados y un ángulo. Encuentra el área de ambos triángulos.

Triangle EFD and Isosceles Triangle DFG share side FD. FD and DG are 5 cm. ED = 12 cm. Angle E 23 degrees.

Aprendizajes

El área de un triángulo se puede encontrar usando la fórmula si , y usando la fórmula si .

El caso ambiguo de la ley de los senos ocurre cuando porque .

Para evitar pasar por alto una posible solución de un triángulo oblicuángulo bajo estas condiciones, puedo .

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección practicamos el uso de la ley de los senos y la ley de los cosenos, y las aplicamos en una situación práctica. Aprendimos que cuando nos dan las medidas de dos lados y de un ángulo (LLA) de un triángulo oblicuángulo hay dos triángulos posibles que satisfacen esas condiciones. La ley de los senos no nos da ambas soluciones, pero la de los cosenos sí. También desarrollamos una fórmula nueva para encontrar el área de un triángulo en el que nos daban las medidas de dos lados y la del ángulo entre ellos (LAL).

Repaso

1.

La superficie total de Alaska es . Sin embargo, el está cubierto de agua. ¿Cuál es la superficie terrestre de Alaska?

2.

Indica si usarías la ley de los senos o la ley de los cosenos para encontrar las medidas desconocidas de los lados y los ángulos de los triángulos.

Triangle EFD with angle D 43.2 degrees, DF = 12.9, DE = 15.4 Triangle ABC with Angle B 81.8 degrees, angle C with 66.2 degrees, and CB = 42.9 cm.